非线性方程组的求解：Newton-Raphson法

在科学和工程中，很多领域会产生如式（3.2）所示的方程组。只要少量的改变，上节导出的Newton-Raphson法可以扩展到非线性方程组。方程组可以类似地用Taylor级数展开来表示。通过再次假设初始猜想值与精确解足够靠近，多元的高次项可以被忽略，从而得到n元方程组的Newton-Raphson法：

x^k+1=xk-[J（x^k）]^-1F（x^k） （3.28）

式中，

而Jacobi矩阵[J（x^k）]为

通常不直接求Jacobi矩阵[J（x^k）]的逆，而是将Newton-Raphson法变形为如下形式后再用LU分解求解：

[J（x^k）]（x^k+1-x^k）=-F（x^k） （3.29）上式即为Ax=b的形式，其中矩阵A就是Jacobi矩阵，函数-F（x^k）就是向量b，而未知向量x就是向量差（x^k+1-x^k）。通常通过计算F（x^k）的范数来评估收敛性，即评估

‖F（x^k）‖<ε （3.30）

注意Jacobi矩阵是x^k的函数，因此每步迭代时与F（x^k）一起更新。

例3.5 求如下方程组的解

0=x²₁+x²₂-5x₁+1=f₁（x₁，x₂） （3.31）

0=x²₁-x²₂-3x₂-3=f₂（x₁，x₂） （3.32）

设初始猜想值为

解3.5 此方程组的Jacobi矩阵为

第1次迭代

在初始值上计算f₁和f₂以及Jacobi矩阵

求解上述线性方程组得

这样，

x₁^（1）=0.8+x₁^（0）=0.8+3=3.8 （3.35）

x₂^（1）=-0.8+x₂^（0）=-0.8+3=2.2 （3.36）

第1次迭代的误差为(www.xing528.com)

第2次迭代

在x^（1）上计算f₁和f₂以及Jacobi矩阵

求解上述线性方组得

这样，

x₁^（2）=-0.1798+x₁^（1）=-0.1798+3.8=3.6202 （3.39）

x₂^（2）=-0.1847+x₂^（1）=-0.1847+2.2=2.0153 （3.40）

第2次迭代的误差为

第3次迭代

在x^（2）上计算f₁和f₂以及Jacobi矩阵

求解上述线性方程组得

这样，

x₁（3）=-0.0102+x₁^（2）=-0.0102+3.6202=3.6100 （3.43）

x₂（3）=-0.0108+x₂^（2）=-0.0108+2.0153=2.0045 （3.44）

第3次迭代的误差为

在第4次迭代时，函数f₁和f₂在x^（3）上进行计算并得到：

由于此向量的范数已很小，可以认为迭代已经收敛，并且

已经在真解的10^-3的误差数量级之内。

在求解例3.5时，每次迭代的误差如下：

注意，一旦迭代解已足够靠近真解，每次迭代的误差将会快速减小。如果迭代的次数已很多，每次迭代的误差大致上为前次迭代误差的平方。这种收敛特性正是Newton-Raphson法平方收敛性的反映。