Gauss消去法是一种不需要显式计算A-1而对式（2.1）进行求解的方法。因为x是直接求出的，因此Gauss消去法是一种求解线性方程组的直接法，并且是一种常用的直接法。Gauss消去法的基本思路是利用第1个方程消去其余方程中的第1个未知量，依次重复这个过程就能消去第2个未知量、第3个未知量……直到整个消去过程完成，此时，第n个未知量可以直接从输入向量b中求出。然后，对上述方程进行递归回代就能求出所有的未知量。
Gauss消去法是这样一个过程，它通过一系列初等行变换运算，将n×（n+1）阶的增广矩阵
[A|b]变换为n×（n+1）阶的矩阵
[I|b∗]
其中，
Ax=b
A-1Ax=A-1b
Ix=A-1b=b∗
x∗=b∗
这样，如果存在一系列初等行变换运算可以将矩阵A变换成一个单位矩阵I，那么，对向量b进行相同系列的初等行变换运算就能将向量b变换为方程组的解x∗。
初等行变换运算包括如下3种矩阵运算：
1）交换矩阵中的任意两行。
2）用一个常数乘任意一行。
3）将任意行的线性组合加到另一行上。
选择一系列初等行变换运算将矩阵A变换成一个上三角矩阵，该上三角矩阵的对角元为1，而所有下三角元素为零。这个过程被称为“向前消去过程”。向前消去过程的每一步可以通过对矩阵A乘以一个初等矩阵ξ来获得，这里的初等矩阵ξ指的是通过对单位矩阵进行初等行变换运算就能得到的矩阵。
例2.1 寻找一系列初等矩阵将如下矩阵变换成上三角矩阵。
解2.1 为了使上述矩阵上三角化，所采用的行变换运算应能使此矩阵对角线以下每一列的元素为零。这可以通过如下的行变换运算来实现：将对角线以下的每一行用其本身减去一个常数乘对角线行来代替，该常数的选择应使此列中对角线以下的元素为零。因此，A的第2行应该用（行2-2×行1）来代替，而对应此初等行变换运算的初等矩阵是
和
注意除了第2行其他的行没有变化，而第2行在第1个对角元下的元素变为了零。类似地，完成消去第1列任务的另外2个初等矩阵是
并且有
现在向前消去过程将针对第2列展开，首先是将第2个对角元下面的元素全部消去，然后将第2个对角元变换为1。具体过程是
并且有
继续向前消去过程，有
从而有(www.xing528.com)
最后有
和
从而完成了向前消去过程，将矩阵变换成了上三角矩阵。
一旦将矩阵变换成了上三角矩阵，式（2.1）的解向量x∗就可以通过状态量的逐次代换（也称为“回代”）而求得。
例2.2 利用例2.1的上三角矩阵，求如下方程的解。
解2.2 注意一系列下三角矩阵的乘积仍然是下三角矩阵。因此，矩阵乘积
W=ξ9ξ8ξ7ξ6ξ5ξ4ξ3ξ2ξ1 （2.8）
是一个下三角矩阵。将W与矩阵A相乘将得到一个上三角矩阵，
WA=U （2.9）
即U是一个通过向前消去过程而得到的上三角矩阵。在式（2.1）的两边同时左乘W，可以得到
WAx=Wb （2.10）
Ux=Wb （2.11）
=b′ （2.12）
式中，Wb=b′。
根据例2.1
且
这样，
通过观察，x4=3/2。由第3行可得
x3=6-3x4 （2.14）
将x4的值代入到式（2.14）中，得到x3=3/2。类似地，
将x3和x4的值代入到式（2.15）中，得到x2=-11/2。以类似的方法求解x1，
从而得到
逐次将已求得的x值代回到方程中进行求解的步骤，在Gauss消去法的求解过程中被称为“回代”。因此，Gauss消去法包括两个主要步骤：“向前消去”过程和“回代”过程。向前消去过程是将矩阵A变换成其三角因子，而回代过程则根据输入向量b和A的矩阵因子求解未知向量x。Gauss消去法同时也为LU因子分解过程提供了框架。
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