计算节点坐标的方法

数控系统一般只有直线插补和圆弧插补的切削运动。如果工件轮廓是非圆曲线，数控系统就无法直接实现插补，而需要通过一定的数学处理。数学处理的方法是用直线段或圆弧段去逼近非圆曲线，逼近直线段或圆弧段与被加工轮廓的交点称为节点。

用直线或圆弧逼近曲线y=f（x）时，根据曲线的特性、逼近线段的形状及允许的逼近误差三个条件可求出各节点的坐标。一般对于曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利，曲率半径较小的曲线则用圆弧逼近较为合理。下面介绍几种常用的计算方法。

1.等间距直线逼近法

这种方法是使每个程序段的某一坐标增量相等，然后根据曲线的表达式求出另一坐标值，即可得到节点坐标。在直角坐标系中，可使相邻节点间的x坐标增量或y坐标增量相等。

如图3-10所示，已知曲线方程为y=f（x），从起点开始，每次增加一个坐标增量Δx，可求出任一点的xi，将xi代入方程y=f（x）中，即可求得一系列yi，这样即可求得各点的节点坐标。这种方法的关键是确定间距值，该值应保证曲线y=f（x）相邻两节点间的法向距离小于允许的逼近误差，即δ≥δ允（δ允一般为零件公差的1/10～1/5）。在实际应用中，常根据零件加工精度要求，按经验确定间距值。

图3-10　等间距直线逼近法

2.等弦长直线逼近法

这种方法是使所有逼近线段的弦长相等，如图3-11所示。由于曲线y=f（x）各处的曲率不同，因而各段的逼近误差也不相等。计算时必须使最大逼近误差小于δ允，以满足加工精度的要求。在用直线逼近曲线时，一般认为误差的方向是在曲线的法线方向，同时误差的最大值产生在曲线的曲率半径最小处。因此，计算时先确定曲率半径最小的地方，然后在该处按照逼近误差小于或等于δ允的条件求出逼近线段的长度，用此弦长分割轮廓曲线，即可求出各节点的坐标。

3.等误差直线逼近法(www.xing528.com)

这种方法是使零件轮廓曲线上各直线段的逼近误差相等，并小于或等于δ允，如图3-12所示。用这种方法确定的各逼近线段的长度不等。此方法求得的节点数目最少，但计算较烦琐。

图3-11　等弦长直线逼近法

图3-12　等误差直线逼近法

4.圆弧逼近法

用圆弧逼近法去逼近零件的轮廓曲线时，需求出每段圆弧的圆心、起点和终点的坐标，以及圆弧的半径。计算的依据依然是要使圆弧段与零件轮廓曲线间的误差小于或等于δ允。

用圆弧逼近曲线，目前常用的方法有三点圆法、相切圆法和曲率圆法。三点圆法是通过已知的三个节点求圆，并作为一个圆弧插补程序段。相切圆法是通过已知的四个节点分别作出两个相切的圆，编出两个圆弧插补程序段。这两种方法都是先用直线逼近方法求出各节点的坐标，然后再求出各圆，计算很烦琐。曲率圆法是一种等误差圆弧逼近法，该方法先求出曲线y=f（x）在起始点的曲率半径和圆心坐标，然后利用等误差圆弧逼近依次求出各逼近圆弧段。

由上可知，节点的计算一般都比较复杂，靠手工计算很难完成，必须借助计算机辅助处理。求得各节点的坐标后，就可按相邻两点节点间的直线或圆弧来编写加工程序。节点的数目越多，逼近曲线的误差δ就越小，则程序段数也就越长。可见，节点数目的多少，决定了加工的精度和程序的长度。一般在选择逼近线段时，应该在保证精度的前提下，使节点数目尽量少，这样不仅计算简单，程序段数目也少。