传感器静态特性的优化分析

传感器的静态特性可以用一组性能指标来描述，如线性度、重复性、灵敏度、迟滞和漂移等。传感器的静态特性是指传感器在静态工作状态下的输入/输出特性。所谓静态工作状态，是指传感器的输入量恒定或缓慢变化而输出量也达到相对稳定时的工作状态。这时，输出量仅为输入量的确定函数。如果被测量是一个不随时间变化，或随时间变化缓慢的量，可以只考虑其静态特性，这时传感器的输入量与输出量之间在数值上一般具有一定的对应关系，关系式中不含有时间变量。

1.线性度

线性度是评价非线性程度的参数。其定义为：传感器的输出/输入校准曲线与理论拟合直线之间的最大偏差与传感器满量程输出之比，称为该传感器的“非线性误差”或称“线性度”，也称“非线性误差性度”。线性度示意图如图1-7所示。

传感器的输出/输入关系或多或少地存在非线性。在不考虑迟滞、蠕变、不稳定性等因素的情况下，传感器的输入量x与输出量y之间的关系通常可用一个如下的多项式表示：

式中 x——输入量；

y——输出量；

a₀——零点输出；

a₁——理论灵敏度；

a₂，a₃，…，a_n——非线性项系数。

图1-7 线性度示意图

各项系数不同，决定了特性曲线的具体形式，如图1-8所示。

图1-8 传感器静态特性曲线

（1）理想线性特性

线性度最好，通常是具备这样特性的传感器才能准确无误地反映被测量的真值。此时a₁为常数，a₀=a₂=a₃=…=a_n=0，数学模型为

y=a₁x

这种情况如图1-8a所示。具有该特性的传感器，其特性曲线是一条通过原点的直线。

因为直线上任何点的斜率都相等，所以传感器的灵敏度为

a₁=y/x=k=常数

（2）输出/输入特性曲线关于原点对称

这种情况如图1-8b所示。此时，在原点附近相当范围内曲线基本成线性，只存在奇次项：

y=a₀+a₁x+a₃x³+a₅x⁵+…+a_2n+1x²ⁿ⁺¹，n=0，1，2，…（除了a₀项）

线性度较好，灵敏度为该曲线的斜率。

（3）输出/输入特性曲线不对称

这时，非线性项只是偶次项，即

y=a₀+a₂x²+a₄x⁴+…+a_2nx²ⁿ，n=0，1，2，…

对应曲线如图1-8c所示。由于没有对称性，此特性的线性范围较窄，线性度较差，较少用这种特性。

（4）普遍情况

普遍情况下的表达式就是y=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，对应的曲线如图1-8d所示。

当传感器特性出现如图1-8b、c、d所示的非线性情况时，就必须采取线性化补偿措施。

静态特性曲线可实际测试获得。在获得特性曲线之后，可以说问题已经得到解决。但是为了标定和数据处理的方便，希望得到线性关系。这时可采用各种方法，其中也包括硬件或软件补偿，进行线性化处理。一般来说，这些办法都比较复杂。所以在非线性误差不太大的情况下，总是采用直线拟合的办法来线性化。在采用直线拟合线性化时，输出/输入的校正曲线与其拟合曲线之间的最大偏差，就称为非线性误差或线性度。通常用相对误差γ_L表示其大小，即

式中 ΔL_max——最大非线性误差；

Y_FS——量程输出。

非线性偏差的大小是以一定的拟合直线为基准直线而得出来的。拟合直线不同，非线性误差也不同。所以，选择拟合直线的主要出发点，应是获得最小的非线性误差。另外，还应考虑使用是否方便，计算是否简便。

选定拟合直线的过程，就是传感器的线性化过程。直线拟合方法有理论拟合、过零旋转拟合、端点连线拟合、端点连线平移拟合、最小二乘法拟合、最小包容拟合、最佳直线拟合等，如图1-9～图1-11所示。图中实线为实际输出校正曲线，虚线为拟合直线。

图1-9 几种直线拟合方法

a）理论拟合 b）过零旋转拟合 c）端点连线拟合 d）端点连线平移拟合

1）理论拟合：如图1-9a所示，理论直线以传感器的理论特性直线作为拟合直线，它与实际测试值无关。其优点是简单、方便，但通常ΔL_max很大。

2）过零旋转拟合：如图1-9b所示，常用于曲线过零的传感器。拟合时，使ΔL₁=ΔL₂=ΔL_max，其优点是简单，非线性误差比前一种小。

3）端点连线拟合：如图1-9c所示，把输出曲线两端点的连线作为拟合直线。其方程式为y=b+kx式中，b和k分别为截距和斜率。这种方法方便、直观，但ΔL_max也很大。

4）端点连线平移拟合：如图1-9d所示，在端点连线拟合基础上使直线平移，移动距离为端点连线拟合的一半，这条曲线分布在拟合直线两侧，ΔL₁=ΔL₂=ΔL₃=ΔL_max，与端点连线拟合相比，非线性误差减少一半，提高精度。

5）最小二乘法拟合：如图1-10所示，这种方法按最小二乘法原理求取拟合直线，该直线能保证传感器校准数据的残差平方和最小。最小二乘法的拟合精度很高，但校准曲线相对拟合直线的最大偏差绝对值并不一定最小，最大正、负偏差的绝对值也不一定相等。

图1-10 最小二乘拟合法

设拟合直线方程为y=kx+b，若实际校准测试点有n个，则第i个校准数据与拟合直线上响应值之间的残差为Δ_i=y_i-（kx_i+b），最小二乘法拟合直线的原理就是使∑Δ2i为最小值，即

也就是使∑Δ2i对k和b一阶偏导数等于零，即

从而求出k和b的表达式为

在获得k和b的值后代入拟合直线方程即可得到拟合直线，然后按前式残差公式求出残差的最大值ΔL_max即为非线性误差。

6）最佳直线拟合法：如图1-11所示，这种方法以“最佳直线”作为拟合直线，该直线能保证传感器正、反行程校准曲线对它的正、负偏差相等并且最小。由此所得的线性度称为“独立线性度”。显然，这种方法的拟合精度最高。通常情况下，“最佳直线”只能用图解法或通过计算机解算来获得。

2.重复性

重复性是指在同一工作条件下，输入量按同一方向在全测量范围内连续变动多次所得特性曲线的不一致性，如图1-12所示。重复性误差属于随机误差，常用标准偏差表示，也可用正反行程中的最大偏差表示，在数值上用各测量值正、反行程标准偏差最大值的2倍或3倍与满量程的百分比表示，即

图1-12中，ΔR_max1为反行程的最大重复性偏差；ΔR_max2为正行程的最大重复性偏差；Y_FS为满量程输出。式中ΔL_max为最大正、反行程重复性偏差，取两个最大偏差中之较大者，再以满量程输出的百分数表示，这就是重复误差。

重复性所反映的是测量结果偶然误差的大小，而不表示与真值之间的差别。有时重复性虽然很好，但可能远离真值。

图1-11 最佳直线拟合法

图1-12 传感器的重复性

重复性是反映传感器精密程度的重要指标。它的好坏也与许多随机因素有关，它属于随机误差，要用统计规律来确定。

用下式可计算重复性：

式中 Y_FR——理论满量程输出值；

λ——置信系数，通常取2或3。

其计算式为

Y_FR=|（x_m-x₁）·k|

式中 x₁——对应于测量下限的输入值；

x_m——对应于测量上限的输入值；

k——理论特性直线的斜率。

子样标准偏差S可通过贝塞尔公式或极差公式估算，即

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式中 m——测量范围内不考虑重复测量的测试点数；

i——重复测量序数；

j=1，2，…，m；

n——重复测量次数；y_ji的含义是，若输入值x=x_j，则在相同条件下进行n次重复试验，获得n个输出值y_j1～y_jn。

式中 W_n——极差，是指某一测量点校准数据的最大值与最小值之差；

d_n——极差系数。

极差系数可根据所用数据的数目n由表1-2查得。理论与实践证明，n不能太大，如n大于12，则计算精度变差，这时要修正d_n。

表1-2 极差系数与测量次数的对应关系

3.迟滞

迟滞现象是传感器正向特性曲线（输入量增大）和反向特性曲线（输入量减小）的不一致程度，指在相同工作条件下作全测量范围校准时，在同一次校准中对应同一输入量的正行程和反行程输出值间的最大偏差。图1-13所示为传感器的迟滞特性曲线。对于同一大小的输入信号，传感器的正反行程输出信号大小不相等，产生这种迟滞现象的主要原因就是由于传感器敏感元件材料的物理性质和机械零部件的缺陷所造成的，如弹性敏感元件的弹性滞后、运动部件摩擦、传动机构的间隙、紧固件松动等。各种材料的物理性质是产生迟滞现象的原因。

图1-13 迟滞特性曲线

迟滞大小一般由实验方法测得。迟滞误差以正、反向输出量的最大偏差与满量程输出之比的百分数表示，即

式中 ΔH_max——正、反行程间输出的最大误差；

Y_FS——满量程输出。

迟滞是传感器的一个性能指标，它反映了传感器的机械部分和结构材料方面不可避免的弱点，如轴承摩擦、灰尘积塞、间隙不适当，元件磨蚀、碎裂等。

4.精确度

精确度也称为精度，它是线性度、不重复性及迟滞三项指标的综合指数，反映了系统误差和随机误差的综合指标。

精度表示传感器测量结果与被测量的真值之间的一致程度，它反映了测量结构中系统误差与随机误差的综合，测量误差越小，传感器的精度越高。

传感器的精度用其量程范围内的最大基本误差与满量程输出之比的百分数表示，其基本误差是传感器在规定的正常工作条件下所具有的测量误差，由系统误差和随机误差两部分组成。如用S表示传感器的精度，则

式中 Δ——测量范围内允许的最大基本误差；

Y_FS——满量程输出。

例如，某温度传感器的刻度为0～100℃，即其测量范围为100℃。若在这个测量范围内，最大测量误差不超过0.5℃，则其相对百分误差为

S=0.5/100=0.5%

去掉上式中相对百分误差的“%”，称为仪表的精确度。它划分成若干等级，如0.1级、0.2级、0.5级、1.0级等。例中的温度传感器的精度即为0.5级。

5.零点时间漂移

传感器在恒定温度环境中，当输入信号不变或为零时，输出信号随时间变化的特性，称为传感器零点时间漂移，简称为零漂。

一般常用的计算公式为

式中 y″₀——稳定Δt小时后的传感器的零位输出值（注意，稳定时间可规定为大于Δt小时的任意值）；

y′₀——传感器原先的零位输出值；

Y_FS——满量程输出值。

6.零点温度漂移

当输入信号不变或为零时，传感器的输出信号随温度变化的特性，称为传感器零点温度漂移，简称为温漂。

最常见的漂移是温度漂移，即周围环境温度变化而引起输出的变化，温度漂移主要表现为温度零点漂移和温度灵敏度漂移。

温度漂移通常用传感器工作环境温度偏离标准环境温度（一般为20℃）时的输出值的变化量与温度变化量之比（ξ）来表示，即

式中 Δt——工作环境温度t偏离标准环境温度t₂₀之差，即Δt=t-t₂₀；

y_t——传感器在环境温度t时的输出；

y₂₀——传感器在环境温度t₂₀时的输出。

7.分辨力、分辨率和阈值

传感器能检测到输入量最小变化量的能力称为分辨力。

对于某些传感器，如电位器式传感器，当输入量连续变化时，输出量只做阶梯变化，则分辨力就是输出量的每个“阶梯”所对应的输入量的大小。对于数字式仪表，分辨力就是仪表指示值的最后一位数字所代表的值。当被测量的变化量小于分辨力时，数字式仪表的最后一位数不变，仍指示原值。

分辨率是指以满量程输出的百分数形式表示分辨力。

阈值是指能使传感器的输出端产生可测变化量的最小被测输入量值，即零点附近的分辨力。有的传感器在零位附近有严重的非线性，形成所谓“死区”，则将死区的大小作为阈值。在更多情况下，阈值主要取决于传感器噪声的大小，因而有的传感器只给出噪声电平。

8.稳定性

稳定性是指在规定条件下，传感器保持其特性恒定不变的能力，通常是对时间而言的。理想的情况下，传感器的特性参数是不随时间变化的。但实际上，随着时间的推移，大多数传感器的特性会发生缓慢的改变。这是因为敏感元件或构成传感器的部件，其特性会随时间发生变化，从而影响了传感器的稳定性。

稳定性一般以室温条件下经过一规定时间间隔后，传感器的输出与起始标定时的输出之间的差异来表示，称为稳定性误差。稳定性误差可用相对误差表示，也可用绝对误差来表示。

9.测量范围和量程

测量范围是在允许误差限内被测量值的范围。检测系统或仪表在正常工作的条件下，能够测量被测量值的范围。

测量范围的最大值称为测量的上限值，测量范围的最小值称为测量的下限值，测量的上限值与下限值代数差的绝对值即为量程。

10.灵敏度

灵敏度是描述传感器的输出量对输入量敏感程度的特性参数，是传感器静态特性的一个重要指标。其定义是：传感器在稳态下，输出量增量Δy与引起输出量增量Δy的相应输入量增量Δx之比。

对于线性传感器，其灵敏度就是它的静态特性曲线的斜率。如图1-14a所示，用k表示灵敏度。用公式表示为

输入改变Δx时，输出变化Δy，Δx变小，Δy也变小。但是一般来说，Δx小到某种程度，输出就不再变化了，这时的Δx叫做灵敏度界限。

存在灵敏度界限的原因有两个。一个是输入的变化量通过传感器内部被吸收，因而反映不到输出端上去。典型的例子是螺钉或齿轮的松动。螺钉和螺母，齿条和齿轮之间多少都有空隙，如果Δx相当于这个空隙，那么Δx是无法传递出去的。又如，装有轴承的旋转轴，如果不加上能克服轴与轴之间摩擦的转矩，轴是不会旋转的。

第二个原因是传感器输出存在噪声。如果传感器的输出值比噪声电平小，就无法把有用信号和噪声分开。如果不加上最起码的输入值（这个输入值所产生的输出值与噪声的电平大小相当）是得不到有用的输出值的，该输入值即灵敏度界限。灵敏度界限也叫灵敏阈、门槛灵敏度，或阈值。

对于非线性传感器，其灵敏度是一个随工作点而变的变量，它是特性曲线上某一点切线的斜率，如图1-14b所示。其表达式为k=dy/dx。k值越大，表示传感器越灵敏。

图1-14 传感器的灵敏度

a）线性输出传感器 b）非线性输出传感器

例如，某位移传感器在位移变化1mm时，输出电压变化有300mV，则其灵敏度为300mV/mm。

有些情况下，灵敏度有另一种含义，因为有许多传感器的输出电压与其电源电压有关，在同样输入量情况下，输出电压是不同的，这时，灵敏度计算中还要考虑单位电源的作用。若电源电压为10V，则上例位移传感器的灵敏度应为30mV/mm。

11.最小检测量

最小检测量是指传感器能确切反映被测量的最低极限量。最小检测量越小，表示传感器检测能力越高。由于传感器的最小检测量易受噪声的影响，所以一般用相当于噪声电平若干倍的被测量为最小检测量，可表示为

M=CN/k

式中 M——最小检测量；

C——系数，C=1～5；

N——噪声电平；

k——传感器的灵敏度。