展开正三棱锥体经斜切优化

1）按已知条件画出主视图、俯视图，并把主视图上各端点标为A、B、C、D、E、F，俯视图上各端点标为A′、B′、C′、D′、E′、F′（见图2-153）。

图2-153 正三棱锥体被斜切的展开图

2）求做各条棱线实长、辅助线实长和斜切线实长（从主、俯两视图中看到，此正三棱锥体被斜切体的表面是由大小不同的三块梯形板所组成。要想用三角形展开法去求做展开，就得在每一个梯形表面做一条辅助线，使每一个梯形分解成两个小三角形，然后才能用三角形展开法去求做展开）：①在主、俯两视中做三条辅助线：从正三棱锥体的锥底B点做辅助线分别与正三棱锥体上端斜切棱线的F点和D点相连，正三棱锥底的A点做辅助线与正三棱锥体上端斜切棱线上的D点相连。②做主视图中锥底线段ABC向右引的延长线，并过斜切线上的F、E、D点做线段ABC延长线的平行线。在D点所引的平行线上选一点D₁，过D₁点做平行线的垂线，垂线与主视图锥底线段ABC的延长线相交，得交点K₁。主视图中斜切棱线上E点的平行线与线段D₁K₁交于点E₁。主视图中斜切棱线上F点的平行线与线段D₁K₁交于点F₁。③以K₁点为圆心，俯视图中各条棱线（即线段A′F′、线段B′E′、线段C′D′）为半径画弧，截取主视图锥底线段ABC的延长线，得交点分别为A₁、B₁、C₁点。那么A₁点至F₁点、B₁点至E₁点、C₁点至D₁点的线段长就是各条棱线的实长。④以K₁点为圆心，俯视图中各条辅助线（即B′点至F′点、B′点至D′点、A′点至D′点）为半径画弧，截取主视图锥底线段AC延长线，得交点分别为B₃点、B₂（A₂）点。那么B₂（A₂）点至D₁点、B₃点至F₁点的斜线段长就是三条辅助线的实长。⑤以F₁点为圆心，俯视图中线段F′E′为半径画弧，与主视图F点所引的平行线、交于点F₂。过F₂点做线段与E₁点相连。以E₁点为圆心，俯视图中线段E′D′为半径画弧，与主视图E点所引的平行线交于点E₂。过E₂点做线段与D₁点相连。以F₁点为圆心，俯视图中线段D′F′为半径画弧，与主视图F点所引的平行线交于点F₃，过F₃点做线段与D₁点相连。那么所得的三段线段长就是三条斜切线的实长。(www.xing528.com)

从主视图看到此正三棱锥被斜切体的锥底线段AB、BC、CA平行于x轴，所以在俯视图中的锥底线段A′B′、B′C′、C′A′表示的都是实长，可直接在展开做图时应用。

3）展开步骤：①在适宜位置做锥底线段AB，长为俯视图中线段A′B′的长。②以A点为圆心，棱线实长中A₁F₁为半径画弧；再以B点为圆心，辅助线实长B₂F₁为半径画弧，两弧交于点F。过F点做线段与A点相连，过F点做点画线与B点相连。③以B点为圆心，棱线实长B₁E₁为半径画弧；再以F点为圆心，斜切线实长F₂E₁为半径画弧，两弧交于点E。过E点做线段分别与F、B点相连。④以B点为圆心，辅助线实长B₂D₁为半径画弧；再以E点为圆心，斜切线实长E₂D₁为半径画弧，两弧交于点D。过D点做线段与E点相连，过D点做点画线与B点相连。⑤以B点为圆心，俯视图中锥底线段B′C′为半径画弧；再以D点为圆心，棱线实长D₁C₁为半径画弧，两弧交于点C。过C点做线段与B、D点相连。⑥以C点为圆心，俯视图中锥底线段C′A′为半径画弧；再以D点为圆心，辅助线实长中D₁A₂为半径画弧，两弧交于点A。过A点做线段与C点相连，过A点做点画线与D点相连。⑦以D点为圆心，斜切线实长D₁F₃为半径画弧；再以A点为圆心，棱线实长A₁F₁为半径画弧，两弧交于点F。过F点做线段分别与D、A点相连。

那么相连后的图形即是正三棱锥体被斜切的展开图。