正三棱锥台体的展开图解析

1）按已知条件画出主、俯两视图，并把主视图上各端点标为A、B、C、D、E、F，俯视图上各端点标为A′、B′、C′、D′、E′、F′（见图2-152）。

2）求做各条棱线及辅助线的实长（从主、俯两视图中看到，此正三棱锥台体表面是由三块相同的梯形板所组成。要想用三角形展开法求做展开，就得在每一个梯形表面中做一条辅助线，把每一个梯形分解成两个小三角形，然后才能用三角形展开法求做展开）：①在主、俯两视图中做三条辅助线，从正三棱锥台体的锥底B点做辅助线与正三棱锥台体上的F点和D点相连，从正三棱锥台体锥底的A点做辅助线与正三棱锥台上的D点相连。②做主视图中锥底线段ABC和锥台线段FED向右引的延长线。在线段FED延长线上选一点F₁（E₁）（D₁）。过F₁（E₁）（D₁）点做延长线的垂线，垂线与主视图锥底线段ABC的延长线相交，得交点K₁。③以K₁点为圆心，俯视图中各条棱线（即线段A′F′、线段B′E′、线段C′D′）为半径画弧，截取主视图锥底线段AC延长线。因为这三条线段长短都一样，所以截取在线段AC延长线上的交点相同，即交点为A₁（B₁）（C₁）点。过A₁（B₁）（C₁）点做线段与F₁（E₁）（D₁）点相连，那么相连的线段长就是此正三棱锥台体的锥底至锥台每条棱线的实长。以K₁点为圆心，俯视图中各条辅助线（即B′F′虚线段、B′D′虚线段、A′D′虚线段）为半径画弧，截取主视图锥底线段AC延长线。因为这三条辅助线长短都一样，所以截取在线段AC延长线上的交点相同，即交点为B₂（B₃）（A₂）点。过B₂（B₃）（A₂）点做线段与F₁（E₁）（D₁）点相连，那么相连的线段长就是各条辅助线的实长。④从主视图中看到此正三棱锥台体的锥底线段AB、BC、CA和锥台线段FE、ED、DF都平行于x轴，所以俯视图中的线段A′B′、B′C′、C′A′和线段F′E′、E′D′、D′F′表示的都是实长，可直接在展开做图时应用。

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图2-152 正三棱锥台体的展开图

3）展开步骤：①在适当位置做锥底线段AB，长为俯视图中线段A′B′的长。②以A点为圆心，棱线实长为半径画弧；再以B点为圆心，辅助线实长为半径画弧，两弧交于点F。过F点做线段与A点相连，过F点做点画线与B点相连。③以B点为圆心，棱线实长为半径画弧；再以F点为圆心，俯视图中的锥台线段F′E′为半径画弧，两弧交于点E。过E点做线段分别与F点、B点相连。④以B点为圆心，辅助线实长为半径画弧；再以E点为圆心，俯视图中的锥台线段E′D′长为半径画弧，两弧交于点D。过D点做线段与E点相连，过D点做点画线与B点相连。⑤以B点为圆心，俯视图中锥底线段B′C′为半径画弧；再以D点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于C。过C点做线段与B点、D点相连。⑥以C点为圆心，俯视图中锥底线段C′A′为半径画弧；再以D点为圆心，辅助线实长为半径画弧，两弧交于点A。过A点做线段与C点相连，过A点做点画线与D点相连。⑦以D点为圆心，俯视图中锥台线段D′F′为半径画弧；再以A点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点F。过F点做线段分别与D点、A点相连。那么相连后的图形即为正三棱锥台体的展开图。