如何展开正四方漏斗？

已知正四方漏斗的底边长为40，上边长为20，高为28，求做其展开图。

图2-72 正四方漏斗的立体图

1.三角形展开法求做漏斗展开图

（1）做图思考与分析

1）做正四方漏斗的立体图（见图2-72），用已知尺寸画出主视图和俯视图（见图2-73）。

2）从立体图上看出这个方形漏斗是由四个相同的薄板平面构成，所以只需求出一个侧面板即可。

3）要想求出一个侧面板的实形，用三角形法得把这个侧面板分成两个三角形，即在主、俯两视图中做一辅助线段AD，就把侧面分成两个三角形ACD和ABD，只有求出这两个三角形的实形，把它拼凑在一起，平摊在一个平面上，才能完成漏斗的侧面板实形展开。用同样方法求做出另外三块侧面板展开，四块侧面板展开拼凑在一个平面上，就完成了漏斗的实际展开图。

图2-73 正四方漏斗主、俯两视图和展开的实长线

4）因为线段AB和CD为四方漏斗的上边和底边，平行于投影面，所以线段AB与CD在视图中反映的是实长，不必再求做。四方漏斗棱线AC、BD和辅助线AD在视图中为一般位置线段，均不反映实长，所以需要求做实长来。

5）漏斗棱线实长线和辅助线实长线求法：①做主视图线段AB、CD向右引的延长线，在延长线上做一垂线A₁K₁。②以K₁点为圆心，俯视图中棱线A′C′和辅助线A′D′为半径分别画弧，两弧线与CD的延长线分别交于C₁点和D₁点。③用线段分别连接A₁点至C₁点和D₁点，此时两条线段A₁C₁和A₁D₁就是棱线AC和辅助线AD的实长线。

（2）展开步骤

1）在适宜位置做底边CD（见图2-74）。以C点为圆心，棱线AC实长为半径画弧；再以D点为圆心，辅助线AD实长为半径画弧，两弧交于点A。用线段连接A、C点，用点画线连接A、D点，此时就组成一个三角形ACD，这个三角形就是主视图中三角形ACD的实形。

图2-74 用三角形展开法所做的正四方漏斗的展开图

2）以D点为圆心，棱线BD实长为半径画弧；再以A点为圆心，线段AB为半径画弧，两弧交于点B。用线段连接A点和B点、B点和D点，此时又组成一个三角形ABD，这个三角形就是主视图中三角形ABD的实形。

3）把三角形ACD和ABD合在一起，即得漏斗侧面板的展开实形。

4）因为漏斗四个侧面板相同，所以其他三个侧面板可用同样方法做出，把四个侧面板展开图拼凑在一起就组成了一个完整的四方形漏斗展开图。

2.放射线展开法求做漏斗展开图

（1）做图思考与分析

1）用已知尺寸画出主、俯两视图（见图2-75）。

2）从主、俯两视图上看到方形漏斗的四条棱边（即四条素线）画延长线可以共交于一点，所以可以用放射线展开法求做展开。

3）要想用放射线展开法求做展开图，首先得知道方形漏斗的侧面板实形，也就是主视图中的梯形ABCD的实形。

图2-75 正四方漏斗主、俯 两视图和高的实长线

4）从视图中看到漏斗上边AB和底边CD平行于投影面，所以视图中反映实长就不必再求做；棱线和高在视图中属一般位置的线段，所以不反映实长，需要求做出。因为漏斗上边和底边在视图中属实长线，在做侧面板展开时，只需求做出高的实长，在做展开图时棱线实长自然而然就跟着直接在展开图中做出，所以只需在视图中做出高的辅助线，求出高的实长，而不必再求棱线实长。

5）漏斗高实长线求法：①在主、俯两视视图中做垂直于底边CD的高EF。②在主视图右方引线段AB和CD的延长线。③在延长线上做一垂线E₁K₁垂直于平行线。④以K₁点为圆心，俯视图中线段E′F′为半径画弧，与CD的延长线交于F₁点。用线段连接E₁、F₁两点，此时线段E₁F₁就是漏斗高的实长线。(www.xing528.com)

（2）展开步骤

1）做漏斗一侧板的展开实形：以漏斗侧面板底边CD为基准线，从CD的中点F向上做一垂直中线EF，垂线EF为侧面板高的实长线。以E点为中点做侧面板上边AB，使上边AB平行于底边CD。用线段连接A点和C点、B点和D点，所得梯形ABCD就是漏斗侧面板的展开实形。

2）做这个漏斗侧面板展开实形中棱线AC与BD的延长线，两条延长线交于点O，该点即为正四方漏斗展开时的射线点。

3）以O点为圆心，线段OA和OC为半径分别画弧，得两条同心的弧线。

4）以漏斗侧面板D点为起点，CD为半径，依次在弧线上截取三次，截取点为1、2、3。用线段把1、2、3点分别与O点相连。三条线段与弧线交于1′、2′、3′点。

5）用线段依次连接D、1、2、3点，及B、1′、2′、3′点，所得图形就是正四方漏斗的展开图（见图2-76）。

3.平行线展开法求做漏斗展开图

（1）做图思考与分析

1）利用已知条件做出主、俯两视图（见图2-77）。

图2-76 用放射线展开法所做的正四方漏斗的展开图

图2-77 正四方漏斗主、俯两视图和侧面板高的实长线

2）如果用平行线法做展开图，构件形体表面素线必须平行。从视图中看到，漏斗的上边与底边是两条相互平行的平行线，所以可以用平行线法求做展开图。

3）从视图中看到漏斗上边AB与底边CD为平行于投影面的线段，所以反映的是实长，不必再求做；漏斗的棱线与侧面板高在视图中属一般线段，不反映实长，需求做出。求漏斗线段实长，只需求出漏斗侧面板高的实长即可，因为求出漏斗侧面板高实长，漏斗的棱线实长在做展开的过程中就可直接做出。

4）漏斗侧面板高实长线求法：①在主、俯两视图中做漏斗侧面板高EF。②在主视图右方水平引上边AB和下边CD的延长线，在延长线上做一垂线E₁K₁，垂线E₁K₁与AB的延长线交于E₁点，与CD的延长线交于K₁点。③以K₁点为圆心，俯视图中的E′F′为半径画弧，与CD的延长线交于F₁点。用线段连接E₁点和F₁点，此时斜线段E₁F₁就是漏斗侧面板高的实长线。

（2）漏斗展开步骤

1）做漏斗侧面板的展开实形（见图2-78）：以底边CD为基准线，从CD的中点F向上做一垂直中线EF，垂线EF为侧面板高的实长线。以E点为中点做侧面板上边AB，使上边AB平行于底边CD。用线段连接A点和C点、B点和D点，所得梯形ABCD就是漏斗侧面板的展开实形。

图2-78 用平行线展开法所做的正四方漏斗的展开图

2）以B点为圆心，EB为半径画弧；再以D点为圆心，FD为半径画弧，做两弧的公切线1-2，那么这条切线就是漏斗侧面板垂直中线。

3）过B点做线段B-3与切线1-2垂直，且线段B-3等于线段AB；过D点做线段D-4与切线1-2垂直，且线段D-4等于线段CD。用线段连接3点与4点。

4）以3点为圆心，EB为半径画弧；以4点为圆心，FD为半径画弧，做两弧的公切线1-2。

5）过3点做线段3-5与切线1-2垂直，且线段3-5等于线段AB；过4点做线段4-6与切线1-2垂直，且线段4-6等于线段CD。用线段连接5点与6点。

6）以5点圆心，EB为半径画弧；以6点为圆心，FD为半径画弧，做两弧的公切线1-2。

7）过5点做线段5-7与线段1-2垂直，且线段5-7等于线段AB；过6点做线段6-8与切线1-2垂直，且线段6-8等于线段CD。用线段连接7点与8点，相连后的图形就是四方漏斗的实际展开图。