数字通信基本方法探析

8.2.2.1　数字基带信号形成

在数字通信中，信息是以二进制或多进制的脉冲序列传输，而脉冲序列往往包含很低的频率分量，甚至直流分量，故把脉冲序列所占用的频带称作基本频带，简称基带。具有基本频带的脉冲序列信号则称作数字基带信号。在各种通信系统中，一般都是从基带信号开始，最后仍要再恢复为基带信号。

数字信号在信道中传输需要一定的带宽，为经济利用频带资源，希望信号占用频带尽可能窄，这就和数字化后数码在信道中传输采用怎样的波形有关。

数字输入序列…，a-2，a-1，a0，a1，a2，…可用ai表示，其中二进制码ai为符号1或0，在波形调制中ai常用双极制1和-1表示，ai也可以用多进制码。在理论上把输入到数字通信系统的信号序列表示为：

式中，δ（t-kT）是位置在时间轴t=kT时的δ函数，发送设备、信道、接收设备都作为线性网络，分别用传递函数Ht（ω）、C（ω）和HR（ω）表示，数字信号经过这些环节后成为信号r（t），经过取样判决后恢复成为数字序列{ak}。在理论分析上把数字信号{ak}转换成为r（t）叫作数字波形形成，把发送、信道、接收综合成一个等效线性网络，称为形成滤波器，其传递函数为H（ω）：

形成滤波器的冲击响应为：

因此，在取样判决前接收到的信号为

在理想情况下，波形形成滤波器具有理想低通滤波器特性，即

式中，T为码元间隔；fN为理想低通的截止频率；ωN为信号带宽，亦即理想低通滤波器带宽fN。

由此可知，按时间±kT取样时，一个码元的波形，仅在这个码元时刻上有幅值1，而在其他码元时刻，这个码元的波形刚过零点，也即：

这说明利用这种波形传输，只要取样判决器在正确时候取样，前后码元波形虽然叠加在一起，但不会引起相互干扰，这通常被称为没有码间干扰。数字为多进制时，数字波形间隔为T，波形速率为1/T Baud。对于二进制数码率即为1/T（b/s）。因此，在信道每隔T时间传输一个数字波形，波形成形滤波器的最窄频带为fN=1/2T。因为，如果频带比fN低，则冲击响应h（t）过零间隔大于T，如以T间隔取样，必然会发生码间干扰；如果要求以T时间间隔取样不发生码间干扰，理想低通特性截止频率必须是kfN，当k=1时，带宽ωN=fN最低。

符合式（8.8）的关系时，则这种数字波形在按T间隔叠加时不会引起码间干扰，这种关系就符合奈奎斯特（Nyquist）第一准则，理想矩形频率滤波器形成的波形不但符合奈奎斯特第一准则而且可使信息传送速率达到最高极限。在信道带宽为fN=1/2T时，数码率达到R=1/T，也即每一赫兹频率带可以传送2Baud信息，这是数字通信速率在频带受限制下的极限，fN称为低通滤波器的奈奎斯特频率，而ωN=fN、R=2fN以及T=1/2ωN分别称为奈奎斯特频带、速率和取样间隔。

对于二进制码每赫兹传送2 b/s是它的极限。另一种理想形成滤波器特性为具有余弦曲线形状的特性，形成滤波器传递函数为

对这种波形取样间隔为1/2fN时，只有在中间时间为±1/4fN两点上取样值为1，其余取样点为过零点。

凡是信号以速率为2fN传输，波形在正确取样时刻取样符合式（8.10）关系的，称为奈奎斯特第二准则，余弦形成滤波器符合奈奎斯特第二准则，并且如果以这种波形传送二进制码元，也可以达到每赫兹2 b/s的速率极限。不过，直接以这种波形来传送二进制码元序列，相邻码元会有干扰，通过预编码方法可以消除这种干扰。

以上讨论的是按照奈奎斯特准则设计数字波形，可以达到每赫兹2Baud的带宽利用率极限，但理想低通滤波器的特性不易做到，根据香农（Shannon）信息论，对于连续信道，如果信道带宽为B，并且受到加性高斯白噪声的干扰，则传送二进制数字信号时信道的容量为

式中，C为信道容量；N为白噪声的平均功率；S为信号的平均功率；/SN为信噪比。

信道容量C是指信道可能传输的最大信息速率。香农证明，只要数字通信速率R≤C，就总存在一种编码方式，能够实现无误码传输。反之，如果R＞C，则不可能实现无误码传输。

8.2.2.2　数字调制解调技术

数字传输系统分为基带传输系统和频带传输系统两大类。然而对于大多数长距离通信，并不能直接传送基带信号，而是用基带信号去控制载波波形的某个参数，使这些参数随基带信号的变化而变化，这个过程叫作“调制”。解调则是把已调信号恢复成调制信号（或基带信号）的过程，是“调制”的逆过程。在实际通信系统中，一般将调制器和解调器做成双向设备，称为调制解调器（Modulator and Demodulator），简称Modem。

由于调制信号3个参量（幅度、频率和相位）都能携带信息，因此有相应的调幅、调频和调相3种基本调制形式。用载波幅度、频率、相位的变化来反映调制信号变化的调制分别叫幅度调制（简称调幅）、频率调制（简称调频）和相位调制（简称调相）。这里只对各种调制解调技术原理及特点做简要归纳。

（1）数字振幅调制

在数字振幅调制（ASK）方式下，载波信号的振幅随调制信号变化而变化。常见的有二进制振幅键控调制（2ASK）、多进制振幅调制、双边带抑制载波调制（DSBSC）、单边带调制（SSB）、残留边带调制（VSB）以及正交双边带幅度调制（QAM）。

虽然数字振幅调制在抗信道噪声能力上要比数字频率调制和数字相位调制差些，但其占用的载波频带较窄，电路构成简单，随着电路技术、滤波器技术以及均衡技术等的不断提高，会在高速数据传输系统中获得普遍应用。

（2）数字频率调制

数字频率调制技术是利用载波的频率变化来传递数字信息的一种非线性的调制方法。主要有多进制频移键控（MFSK）、连续相位二进制频移键控（CP-2FSK）、最小频移键控（MSK）、高斯最小频移键控（GMSK）、软化调频（TFM）等，与振幅调制相比有良好的功率利用率、抗码间串扰、带外辐射功率小等优点。

由于数字调频信号容易产生，系统设备相对简单，而且抗干扰能力优于振幅调制，因此在中、低速的数字通信系统中应用广泛；其缺点是占用较宽的频带。

（3）数字相位调制

数字相位调制是利用载波相位变化来传递数字信息的非线性调制方式。由于表征信息的载波相位变化只有有限个离散取值，所以数字相位调制又叫相移键控（PSK）。相移键控可分为绝对移相的相移键控（PSK）和相对移相的相移键控（DPSK）。所谓绝对移相，是指利用载波不同相位直接表示数据信息，即用未调载波相位作为基准的调相；而相对移相是利用载波的相对相位，既前后码元载波相位相对变化来表示信息。由于绝对移相在接收端解调时会产生信号相位模糊，造成信号判决二义性，影响解调效果，故在实际传输系统中数字相位调制信号几乎都是DPSK信号。

数字调相中，载波本身并不携带信息，二相调相信号中没有载波分量，所以信号能量的利用率较高，而它所需频带却和数字调幅相等，因而数字调相优于数字调幅。数字调相与数字调频相比，需要较小频带宽度，特别适宜于在有衰落和多径信道中传输。如果在传输过程中干扰扰动比脉冲持续的时间长，两个脉冲将同样受到影响，但保存了两信号相位差所含有的数字信息，因而数字调相在恒参数信道中比振幅键控、频移键控具有较高的抗干扰性能，且可更经济有效地利用频带，所以是比较优越的调制方式，在实际中尤其是在中高速的数据传输中得到广泛应用。

8.2.2.3　信源和信道的编码

编码可分为信源编码和信道编码两种。信源编码是一种信息压缩方法，即除去信息中冗余度，达到压缩数据率；信道编码是对信息增加一定冗余，即保护码，以达到可靠传输的目的。

（1）信源编码

在数字通信系统中，每秒传送的二进制符号个数称为数码率；每个信源符号所传送的平均信息量称为信源的熵。信源编码又称为数据压缩，目的是根据信源的统计特性对信源发出的信息进行编码，以减少信源信息的冗余度，提高信息传输的有效性，降低数码率。

根据香农（Shannon）信息论，信源的熵是信源无失真编码的极限，也就是说无论采用何种编码，其编码后的数码率不会小于该信息的熵，如果小于的话，那么这种编码必然是失真的。当允许失真时可以找到一种编码方法，在允许的某一失真处可以找到某一码率R，当码率超过码率失真函数R（D）时，收到编码信息后可以在小于或等于D的失真情况下恢复原信息。

信源编码有3种主要方法：概率匹配编码、变换编码和识别编码。

（2）信道编码

信道容量是信道能传输的最大信息率。基于香农的有噪信道编码定理为：若一个离散无记忆信道，信道容量为C，只要信息率R＜C，就总可以找到一种编码方法，当编码的码长n足够长时，可以使译码错误概率pe任意小。反之，当R＞C时，任何一种编码方法都会使pe＞0，且当n增加时，pe趋于1。此定理说明，以任意低的错误概率通过有噪声信道传输信息是可能的。

信道编码也称为差错控制编码，是提高数字传输可靠性的一种编码方法。按功能可划分为：检错编码——只能发现错误；纠错编码——不仅可以发现错误，还能自动纠正。按编出的码组内部关系可分为：线性编码和非线性编码。按对信息码元处理方法的不同，可分为：分组码和卷积码。

数字传输系统中，差错控制方式主要有以下3种：

1）前向纠错（Forward Error-Correction，FEC）。在传输过程中，将发送的数字信号按一定的数学关系构成具有纠错能力的码组；当在传输中出现差错时，且错误的个数在码的纠错能力范围内，接收端根据编码规则进行解码，并能自动纠正错误。

2）自动请求重传（Automatic Repeat Request，ARQ）。发送端发出带有检错码的数字信号，接收端通过检错译码，检查收到的码组是否有错，但无须判断错在何处。如果发现有错，接收端反馈发送端，请求重发一次数据。

3）混合纠错（Hybrid Error-Correction，HEC）。这是上面两种方式的结合。发送端发出具有纠错能力的码组；接收端收到信号后，如果发现码组的差错个数在码的纠错能力之内，则自动进行纠错；如果差错个数太多，超过了码的纠错能力，但能被检测出来，则反馈发送端请求重发。(www.xing528.com)

（3）常用检错码

1）奇偶校验码。奇偶校验码又称奇偶监督码，可分为奇校验码和偶校验码。它只有一个监督元，是一种最简单，也是数据通信中应用最多的一种检错码。

2）行列监督码。行列监督码也叫方阵校验码，这种码不仅可克服奇偶监督码不能发现偶数个差错的缺点，还可以纠正某些位置的错码。其原理与简单的奇偶监督码相似，不同点在于每个码元都要受到纵、横两个方向的监督。行列监督码实质上是运用矩阵变换，把突发差错变成独立差错加以处理。因为这种方法比较简单，所以被认为是抗突发差错很有效的手段。

3）等比码。等比码又称恒比码或等重码（非零码组中“1”码的个数称为重码）。等比码每个码组中，“0”和“1”个数之比都是恒定的。在检测等比码时，通过计算接收码组中“1”的数目，判定传输有无错误。这种码除了“1”错成“0”和“0”错成“1”成对出现的错误以外，还能发现其他所有形式的错误，因此检错能力很强。

4）正反码。正反码主要用于10单位电码差错控制传输设备，它具有纠正码组中一个差错的能力，也能检查码组内所有两个以下的差错和大部分两个以上的差错。

每个正反码的码组由10个码元组成，前面5位是普通5单元码，后5位是编码时加上去的监督码，其编码规则为：

①　当信息码组中“1”的个数为奇数时，监督码是信息码的重复。

②　当信息码组中“1”的个数为偶数时，监督码是信息码的反码。

（4）常用纠错编码

1）线性分组码。一个长为n的分组码，码字有两部分构成：信息码元（k位）+监督码元（n-k位）。监督码元是根据一定规则由信息码元变换得到的，变换规则不同就构成不同的分组码。如果码字中的监督位为信息的线性组合——它们之间由一个线性方程联系，就称为线性分组码。

线性分组码是分组码中最重要的一类码，它是讨论各类编码的基础。虽然这类码的概念比较简单，但是非常重要的。特别是有关码的生成矩阵G和校验矩阵H的表示，以及它们之间的关系，而校验矩阵H与纠错能力之间的关系则更为重要。在这里，只讨论系统码编码解码的代数原理。因为系统码比其他形式的非系统码、缩短码更容易用代数理论解释和硬件实现，而且系统码具有更好的纠错性能。因此，在通信系统中普遍采用对数据信息进行系统码形式的编码。所谓系统码就是信息组以不变的形式在码组的任意k位（前面的k位Cn-1，Cn-2，…，Cn-k为信息位，后面的n-k=r位Cn-k-1，Cn-k-2，…，C0则为监督位）中出现的码组称为系统码，否则为非系统码。

（n，k，d）分组码的编码问题就是在n维线性空间Vn中，如何找出满足一定要求的，有2k个矢量组成的k维线性子空间Vn，k。或者说，在满足给定条件（码的最小距离d或者码率R）下，如何从已知的k个信息码元求得n-k=r个校验码元，这相当于建立一组线性方程组，已知k个系数，要求n-k=r个未知数，使得到的码字恰好有所要求的最小距离d。

取M=[mn-1，mn-2，…，mn-k]表示需要进行编码的信息；

R=[rn-k-1，rn-k-2，…，r0]表示添加的冗余监督位；

C=[Cn-1，Cn-2，…，C0]=[mn-1，mn-2，…，mn-k，rn-k-1，rn-k-2，…，r0]表示信息组矢量m经过线性编码后得到的码；

G，H分别为生成矩阵和校验矩阵，Ek为k维单位矩阵；

（n，k，d）分组码的2k个码字组成了一个k维子空间，因此这个2k个码字完全可由k个独立矢量所组成的基底形成，其矩阵形式可以表示为：

因为（n，k，d）码中的任何码字都是由该矩阵生成，所以可以用一个通用的公式来表示：

对于系统码而言，其前k位都是信息码元，后n-k=r为校验码元，所以其生成矩阵可以表示为：

一般情况下，任何一个（n，k，d）的校验矩阵都可以表示为：

它是一个（n-k）×n阶矩阵。因此校验矩阵H可以很方便地建立码的线性方程：

或者表示为：

由生成矩阵和校验矩阵我们可以得到：

因为G与H组成的空间互相正交，所以H可以表示为H=[PTEn-k]。通常，生成矩阵用来实现数据信息的编码，而校验矩阵则用于译码纠错。

设发送的码字为C=[Cn-1，Cn-2，…，C0]，再通过有扰信道传输时，信道干扰产生的错误图样为E=[en-1，en-2，…，e0]，接收端译码器收到的有扰信号可以表示为：

译码器的工作就是从接收到的R中得到C，或者从R中解出错误图样E，并使译码错误概率最小。

由前一节我们知道，（n，k，d）码的任一码字与校验矩阵的矢量积为零，则：

式中，S为伴随式。如果错误图样为0，则伴随式也为0。反之亦然。这说明，伴随式仅与错误图样有关，而与发送端的消息无关，即伴随式完全由E决定：

从式（8.20）可以看出，伴随式S是H矩阵中相应于eij≠0的那几列的hij的线性组合。因此一个（n，k，d）的码要纠正≤t个错误，则要求≤t个错误的所有可能组合的错误图样都应该有对应的伴随式与之相对应，即不同的错误有不同的伴随式对应。

2）循环码。循环码是线性分组码。它可以用现代代数理论进行分析和构造，是计算机通信中常用的一种检错、纠错码。循环码除了具有一般线性分组码的特性外，还具有循环性。若C=[C1，C2，…，Cn]是一个码字，那么它的循环移位C=[C2，…，Cn，C1]同样也是一个码字。

循环码有两个显著特点：一是它既可以用线性方程确定，更适合用代数方法进行分析研究；二是它具有循环移位特性，所需的编码设备比较简单，容易实现。因此循环码在实际中得到了广泛的应用。

一个（n，k）循环码用多项式F（x）表示为：

式中，R（x）是监督码元多项式，最高幂次为n-k-1；C（x）是信息码元多项式，最高幂次为k-1。

监督码元R（x）可由一个特定的多项式产生，这个特定的多项式必须是不可约的，记为G（x）。如果输入信息序列以C（x）表示，则监督序列R（x）由多项式除法的余式确定，即：

式中，Q（x）的幂次与码组中信息元数相对应，R（x）的幂次与码组中监督码元数相对应。按模2运算的规则，加或减是相同的，故由式（8.23）得：

F（x）=Q（x）G（x）就是经过除法运算后所编成的循环码的多项式表示。

根据式（8.24）的定义，可以用多项式的除法器来实现循环码的编码。编码器要完成的是：在给定G（x）下，对输入序列进行除法运算，求其余式，以确定监督码元。一个循环码组F（x）=Q（x）G（x）必须能被生成多项式G（x）所整除。其逆命题亦真：能被G（x）所整除的多项式必定对应有用码组集合中的一个元素。循环码的检错作用就是建立在这一基础之上。可见，循环码的编码和译码都要与G（x）相对应的除法运算有关，可以用硬件或软件实现。

G（x）是生成多项式，也是生成循环码的条件，不同的G（x）生成的循环码不同，当然G（x）不是任意的。（n，k）循环码中的G（x）是一个n-k阶多项式，且是xn+1的一个因子。

接收端解码有两个要求：检错和纠错。达到检错目的的解码原理很简单，由于任一码组多项式F（x）都能被生成多项式G（x）整除，所以在接收端可以将接收码组T（x）用原来的生成多项式G（x）去除，以余项是否为零判断码组中有无误码；但有错的接收码组也有可能被G（x）整除，这时的错码就不能检出了，称为不可检错误。为了能纠错，要求每个可纠正的错误必须与一个特定T（x）除G（x）的余式有一一对应的关系；根据余式唯一地决定错误的位置，从而纠正错误。

3）BCH码。BCH码（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem code）是自1959年发展起来的一种循环码，能够最有效地纠正多个错误，它的纠错能力很强，且构造简单，并有严格的代数结构，是研究较为详细、分析比较透彻、取得成果也较多的码类之一。

4）卷积码。卷积码是把信源输出的信息序列，以每k0个（k0通常较小）码元分段，通过编码器输出长为n0（n0≥k0）一个码段。但是该码段的n0-k0个校验码元不仅与本段的信息码元有关，而且也与其前若干个子组的信息码元有关。整个编码过程一环扣一环、连锁地进行，故称为连环码；又因为其编码器的输出可以被看成输入信息数字序列与编码器的响应数的卷积，所以称为卷积码。

卷积码具有检错和纠错的能力，更适用于前向纠错。它充分利用各子码之间的相关性，其性能对于很多实际情况要优于分组码，至少不差于分组码。卷积码构成比较简单，但它的解码方法较复杂。