逐点比较法：普通型数控系统中常用插补算法

逐点比较法又称代数演算法，是在普通型数控系统中应用较多的一种插补算法。它能实现直线插补、圆弧插补和非圆二次曲线插补。

逐点比较法就是每走一步都要将工作点的瞬时坐标与规定的运动轨迹进行比较，判断其偏差，根据偏差，确定下一步进给方向，如此每走一步，计算一次偏差，比较一次，决定下一步的走向。这样，就能得出一个非常接近于规定运动轨迹的图形，且最大偏差不超过一个脉冲当量。

逐点比较法是以阶梯折线来逼近直线和圆弧等曲线的。它与规定的加工直线或圆弧之间的最大偏差为一个脉冲当量。因此只要脉冲当量取得足够小，就可达到加工精度的要求。

在逐点比较法插补前，先要根据规定的运动轨迹曲线形状构造一个偏差函数F=f（X，Y），式中，X，Y是动点i的坐标。分别以f（X，Y）>0，f（X，Y）=0，f（X，Y）<0表示动点的位置。

在逐点比较法中，每走一步都需要4个节拍，即：

①偏差判别。判别偏差函数的正、负，以确定工作点相对于规定曲线的位置。

②坐标进给。根据偏差情况，控制X坐标或Y坐标进给一步，使工作点向规定的曲线靠拢。

③偏差计算。进给一步后，计算工作点与规定曲线的新偏差，作为下一步偏差判别的依据。

④终点判断。判断终点是否到达。如果未到终点，继续插补；如果已到终点，就停止插补。

1.逐点比较法直线插补

（1）逐点比较法直线插补计算原理

1）偏差计算公式。根据逐点比较法的原理，每走一步必须把动点（插值点）的实际位置与给定轨迹的理想位置间的误差以“偏差”形式计算出来，然后根据偏差的正、负决定下一步的走向，以逼近给定轨迹。因此，偏差计算是逐点比较法关键的一步。

下面以第一象限平面直线为例来推导偏差计算公式。如图1-9所示的加工直线OE。取直线起点为坐标原点，直线终点坐标E（X_e，Y_e）为已知，即直线OE为给定轨迹。P（X_i，Y_i）点为加工点（动点）。若P点在直线OE上，则X_i/Y_i=X_e/Y_e，即

Y_iX_e^-XiYe=0（1-1）

根据式（1-1），可定义直线插补的偏差判别式如下：

F_i=Y_iX_e^-XiYe（1-2）

若F_i=0，表示动点在直线OE上；若F_i>0，表示动点在直线OE上方；若F_i<0，表示动点在直线OE下方。

从图1-9中可以看出，第一象限直线插补，当F_i>0时，应向+X方向进给一步以逼近给定直线；而当F_i<0时，应向+Y方向进给一步以逼近给定直线；当F_i=0时，动点在直线上，为了插补能继续进行，不得不从无偏差状态进给一步，走到有偏差状态。这时可以走+X，也可以走+Y。这里规定走+X。

图1-9 第一象限直线

以上得到的是第一象限直线插补方法，即当F_i≥0时向+X进给一步；当F_i<0时向+Y方向进给一步。从起点开始，当两个坐标方向走的步数分别等于X_e和Y_e时停止插补。

因为插补过程中每走完一步都要计算一次新的偏差，如果按式（1-2）进行计算，要做两次乘法和一次减法，还要计算新的坐标值，因此算法需要简化。

对于第一象限而言，设加工点正处于P点，当F_i≥0时向+X进给一步。因坐标值的单位为脉冲当量，进给后新的坐标值为：

X_i+1=X_i+1

Y_i+1=Y_i

则新点的偏差为

当F_i<0时向+Y进给一步。进给后新的坐标值为：

X_i+1=X_i

Y_i+1=Yi⁺¹

则新点的偏差为

式（1-3）和式（1-4）是简化后的偏差计算公式，公式中只有加减运算，而且不必计算每一点的坐标，只需将前一点的偏差值加上或减去终点坐标X_e、Y_e，即可得到新的坐标点的偏差值。由于加工起点是坐标原点，故起点的偏差是已知的，即F₀=0。随着加工点的前进，每一新加工点的偏差F_i+1都可由前一点的偏差F_i和终点坐标相加或相减得到。

2）终点判别的方法。终点判别的方法有以下几种方法。

①设置∑_X、∑_Y两个减法计数器。在加工开始前，在∑_X、∑_Y计数器中分别存入终点坐标值X_e、Y_e。X或Y坐标方向每进给一步时，就在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都减为零时，停止插补，到达终点。

②设置一个终点计数器。计数器中存入X和Y两坐标进给的步数总和∑，∑=X_e+Y_e，当X或Y坐标进给时均在∑中减1，当减到零时，停止插补，到达终点。

③选终点坐标值较大的坐标作为计数坐标。如：X_e≥Y_e则用X_e作为终点计数器初值，仅X轴走步时，计数器才减1，计数器减到零到达终点。如：Y_e>X_e，则用Y轴计数。

3）插补计算过程。用逐点比较法进行直线插补计算，每走一步，都需要以下4个步骤。

①偏差判别。即判别偏差F_i≥0或F_i<0，以确定哪个坐标进给和偏差计算方法。

②坐标进给。根据直线所在象限及偏差符号，决定沿+X、+Y、-X、-Y 4个方向中哪个方向进给。

③偏差计算。进给一步后，计算新的加工点的偏差，作为下次偏差判别的依据。

④终点判别。进给一步后，终点计数器减1，根据计数器的内容是否为0判别是否达到终点，若计数器为0，表示到达终点，插补结束；如终点计数器不为零则继续插补。

（2）直线插补计算

设加工第一象限直线，起点为坐标原点，终点坐标X_e=5，Y_e=3，试进行插补计算并画出插补轨迹图。

计算过程如表1-1所示，表中的终点判别采用了上述的第二种方法，即设置一个终点计数器，用来寄存X和Y两个方向的步数和∑，每进给一步∑减1，若∑=0，表示到达终点，停止插补。插补轨迹如图1-10所示。

表1-1 直线插补计算过程

图1-10 直线插补轨迹

（3）4个象限的直线插补计算

上面介绍的第一象限直线插补算法经适当处理后可以推广到其余象限。为适用于4个象限的直线插补计算，在偏差计算时，无论哪个象限直线，都用其坐标的绝对值计算。因此，可得到的偏差符号如图1-11所示。当动点位于直线上时，偏差F=0；动点不在直线上且偏向Y轴时，F>0；偏向X轴时，F<0。由图1-11还可以看出，当F≥0时，应沿X轴走一步，第一、四象限走+X方向，第二、三象限走-X方向；当F<0时，应沿Y轴走一步，第一、二象限走+Y方向，第三、四象限走-Y方向。终点判别也应用终点坐标的绝对值作为计数器初值。

例如，第二象限的直线OA2，其终点坐标为（-X_e，Y_e），在第一象限有一条和它对称于Y轴的直线OA1，其终点坐标为（X_e，Y_e）。当从O点开始出发，按第一象限直线OA1进行插补时，若把沿X轴正向进给改为沿X轴负向进给，这时实际插补出的就是第二象限的直线OA2，而其偏差计算公式与第一象限直线的偏差计算公式相同。同理，插补第三象限终点为（-X_e，-Y_e）的直线OA3，它与第一象限终点为（X_e，Y_e）的直线OA1是对称于原点的，所以依然按第一象限直线OA1插补，只需在进给时将+X进给改为-X进给，+Y进给改为-Y进给即可。

4个象限直线插补的偏差计算公式与进给方向如表1-2所示。表中OA1、OA2、OA3、OA4分别表示第一、二、三、四象限的直线插补的偏差计算。

图1-11 4个象限直线偏差符号和进给方向

表1-24 个象限直线插补的偏差计算公式及进给方向

2.逐点比较法圆弧插补

（1）逐点比较法圆弧插补计算原理

1）偏差计算公式。与直线插补相似，圆弧插补加工是将加工点到圆心的距离与被加工圆弧的名义半径相比较，并根据偏差大小确定坐标进给方向。下面以第一象限逆时针圆弧为例，讨论圆弧插补的偏差计算方法。如图1-12所示，要加工圆弧，设圆弧的圆心在坐标原点，并已知圆弧的起点A（X₀，Y₀），终点为B（X_e，Y_e），圆弧半径为R，令瞬时加工点（动点）为P（X_i，Y_i），它到圆心的距离为R_i。从图上可以看出，加工点P可能在3种位置上出现，即圆弧上、圆弧内或圆弧外。(www.xing528.com)

①当动点P位于圆上时，X_i²+Y_i²-R²=0。

②当动点P位于圆内时，X_i²+Y_i²-R²<0。

③当动点P位于圆外时，X_i²+Y_i²-R²>0。

因此，可定义圆弧偏差判别式如下：

F_i=R_i²-R²=X_i²+Y_i²-R²（1-5）

如图1-12所示，为了使加工点逼近圆弧，进给方向规定如下：

若F_i≥0，动点P在圆上或圆外，向-X方向进给一步并算出新的偏差。

当F_i<0，动点P在圆内，向+Y方向进给一步并算出新的偏差。

如此走一步，算一步，直至到达终点后停止运算，即可插补出如图1-12所示的第一象限逆圆弧。

图1-12 逐点比较法第一象限逆圆弧

由于偏差计算公式中有平方值计算，故需简化，设加工点处于P（X_i，Y_i）点，其偏差计算式为F_i=X²_i+Y²_i-R²。

若F_i≥0，应沿-X轴方向进给一步，其坐标值为：

X_i+1=Xi^-1

Y_i+1=Yi

则新加工点的偏差为

若F_i<0，沿+Y轴方向进给一步，其坐标值为：

则新加工点的偏差为

由式（1-6）和式（1-7）可知，新点的偏差可由前一点的偏差及前一点的坐标计算得到。从圆弧的起点开始，起点的偏差F₀=0，所以新加工点的偏差总可以根据前二点的数据计算出来。

2）终点判别方法。圆弧插补的终点判别方法与直线插补的方法基本相同。可将X，Y轴所走步数总和存入一个计数器，∑=X_e-X₀+Y_e-Y₀，每走一步，∑减1，当∑=0插补结束。

3）插补计算过程，逐点比较法的圆弧插补计算过程与直线插补过程基本相同，但由于其偏差计算公式不仅与前一点偏差有关，且与前一点坐标有关，因此，在偏差计算的同时要进行坐标计算，以便为下一点的偏差计算做好准备。即圆弧插补过程分为偏差判别、坐标进给、偏差计算、坐标计算及终点判别等步骤。

（2）逐点比较法圆弧插补计算方法首先假设加工第一象限逆圆弧，已知起点A（5，0），终点B（0，5）。然后进行插补计算并画出插补轨迹。

逐点比较法圆弧插补计算过程如表1-3所示，并根据表1-3作出插补轨迹，如图1-13所示。

表1-3 逐点比较法圆弧插补计算过程

（续）

（3）逐点比较法4个象限圆弧插补计算

为叙述方便，以下采用SR1、SR2、SR3、SR4分别表示第一、二、三、四象限的顺圆弧；用NR1、NR2、NR3、NR4分别表示第一、二、三、四象限的逆圆弧。

从前面分析可知，第一象限逆圆弧插补运动，使动点坐标X_i的绝对值减少，使Y_i的绝对坐标值增加。

当X轴进给一步后，X_i+1=X_i-1，从而得出F_i+1=F_i-2X_i+1；当Y轴进给一步后，Y_i+1=Y_i+1，从而得出F_i+1=F_i+2Y_i+1。

图1-13 圆弧插补轨迹

参照图1-14所示，第一象限顺圆弧SR1运动趋势是X轴绝对值增加，Y轴绝对值减小。由此可得出：

当F_i≥0，动点在圆上或圆外，Y轴负向进给，绝对值减小，则：

若F_i<0，动点在圆内，X轴正向进给，绝对值增加，则：

图1-14 逐点比较法4个象限圆弧运动趋势

与直线插补相似，如果插补计算都用坐标的绝对值进行，将进给方向另作处理。那么4个象限的圆弧插补计算可统一起来，从而使计算简化。如图1-14所示，用SR1、SR2、SR3、SR4分别表示第一、第二、第三、第四象限的顺时针圆弧；用NR1、NR2、NR3、NR4分别表示第一、第二、第三、第四象限的逆时针圆弧。从图1-14可以看出，SR1、NR2、SR3、NR4的插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值增加，Y轴坐标绝对值减小，这几种圆弧的插补计算是一致的，以图1-14中的SR1为代表。NR1、SR2、NR3、SR4插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值减小、Y轴坐标绝对值增加，这4种圆弧插补计算也是一致的，以图1-14中NR1为代表。

从图1-14中可知，SR1和NR2的圆弧从各自起点插补出来的轨迹对于Y坐标对称，即Y方向的进给相同，X方向进给相反。系统完全按第一象限顺圆弧偏差计算公式进行计算，所不同的是将X轴的进给方向变为负向，则走出的就是第二象限逆圆弧NR2。在这里，圆弧的起点坐标要取其数字的绝对值，起点坐标为无符号数（X0，Y0），而-X0的“-”号则用于确定象限，从而确定进给方向。

在表1-4中列出了8种圆弧的插补计算公式和进给方向。

表1-48 种圆弧插补计算公式和进给方向

（4）逐点比较法圆弧插补的过象限处理

从以上讨论可知，圆弧插补的进给方向和偏差计算与圆弧所在象限和顺、逆时针方向有关。一条圆弧可能分布在两个或者两个以上的象限内。如图1-15所示，圆弧分布在第一和第二象限内。对于这种圆弧的加工有两种处理方法。

第一种方法：将该圆弧按所在象限分段。如：将图1-15中的弧分为两段，第一象限中的顺圆和第二象限中的顺圆，然后按各象限中的圆弧插补方法编写加工程序。

图1-15 过象限圆弧

第二种方法：按整段圆弧编写加工程序。此时要在该程序中考虑自动过象限问题。要使圆弧自动过象限，需要解决两个问题：

①何时变换象限。变换象限的点必须发生在坐标轴上，亦即发生在有一个坐标值为0时，故又称检零切换。当象限由Ⅰ↔Ⅱ或Ⅲ↔Ⅳ时，必有X=0；当象限由Ⅱ↔Ⅲ或Ⅰ↔Ⅳ时，必有Y=0。因此，在插补圆弧时，每走一步X或Y，分别计算X±1是否等于0及Y±1是否等于0。当X=0或Y=0而∑≠0时，就需要变换象限了。

②象限如何变换。顺圆和逆圆象限变换次序如图1-16所示。

图1-16 顺圆和逆圆象限变换次序