PID参数与系统动静态性能的关系

积分和导数是高等数学中的概念，它们都有明确的几何意义，并不难理解。PID控制器输出量中的比例、积分、微分部分都有明确的物理意义，在整定PID控制器参数时，可以根据控制器的参数与系统动态、静态性能之间的定性关系，用试验的方法来调节控制器的参数。

1.对比例控制作用的理解

式（9-1）PID算法的输出值y中的比例部分为K_P（bw-­x），K_P为比例增益，b为比例作用权重，w为设定值，x为过程值。bw-­x为误差值。

PID的控制原理可以用人对炉温的手动控制来理解。假设用热电偶检测炉温，用数字式仪表显示温度值。在人工控制过程中，操作人员用眼睛读取炉温，并与炉温的设定值比较，得到温度的误差值。用手操作电位器，调节加热的电流，使炉温保持在设定值附近。有经验的操作人员通过手动操作可以得到很好的控制效果。

操作人员知道使炉温稳定在设定值时电位器的大致位置（我们将它称为位置L），并根据当时的温度误差值调整电位器的转角。炉温小于设定值时，误差为正，在位置L的基础上顺时针增大电位器的转角，以增大加热的电流；炉温大于设定值时，误差为负，在位置L的基础上反时针减小电位器的转角，以减小加热的电流。令调节后的电位器转角与位置L的差值与误差绝对值成正比，误差绝对值越大，调节的角度越大。上述控制策略就是比例控制，即PID控制器输出中的比例部分与误差成正比，比例系数（增益）为式（9-1）中的K_P。

闭环中存在着各种各样的延迟作用。例如调节电位器转角后，到温度上升到新的转角对应的稳态值有较大的延迟。温度的检测、模拟量转换为数字值和PID的周期性计算都有延迟。由于延迟因素的存在，调节电位器转角后不能马上看到调节的效果，因此闭环控制系统调节困难的主要原因是系统中的延迟作用。

如果增益太小，即调节后电位器转角与位置L的差值太小，调节的力度不够，将使温度的变化缓慢，调节时间过长。如果增益过大，即调节后电位器转角与位置L的差值过大，调节力度太强，造成调节过头，可能使温度忽高忽低，来回震荡。

与具有较大滞后的积分控制作用相比，比例控制作用与误差同步，在误差出现时，比例控制能立即起作用，使被控制量朝着误差减小的方向变化。

如果闭环系统没有积分作用（即系统为自动控制理论中的0型系统），由理论分析可知，单纯的比例控制有稳态误差，稳态误差与增益成反比。图9-12和图9-13中的方波是比例控制的给定曲线，图9-12的系统增益小，超调量小，震荡次数少，但是稳态误差大。

增益增大几倍后，启动时被控量的上升速度加快（见图9-13），稳态误差减小，但是超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏。增益过大甚至会使闭环系统不稳定。因此单纯的比例控制很难兼顾动态性能和稳态性能。

图9-12 比例控制的阶跃响应曲线

图9-13 比例控制的阶跃响应曲线

2.对积分控制作用的理解

（1）积分的几何意义与近似计算

PID程序是周期性执行的，执行PID程序的时间间隔为采样时间T_S。第n次PID运算时的时间为T_Sn，因为PID程序运行时T_S为常数，将t=T_Sn时控制器的输入量e（T_Sn）简写为e（n），输出量M（T_Sn）简写为M（n）。

PID控制器输出中的积分对应于图9-14中误差曲线e（t）与坐标轴包围的面积（图中的灰色部分）。我们只能使用连续的误差曲线上间隔时间为T_S的一系列离散的点的值来计算积分，因此不可能计算出准确的积分值，只能对积分作近似计算。

一般用图9-14中的矩形面积之和来近似计算精确积分。每块矩形的面积为e（jT_S）T_S。为了书写方便，将e（jT_S）简写为e（j），各块矩形的总面积为。当TS较小时，积分的误差不大。可以理解为每次PID运算时，积分运算是在原来的积分值的基础上，增加一个与当前的误差值成正比的微小部分（对应于新增加的矩形面积）。在图9-15中A点和B点、C点和D点之间，设定值大于反馈值，误差为正，积分项增大。在B点和C点之间，反馈值大于设定值，误差为负，积分项减小。

（2）积分控制的作用

在上述的温度控制系统中，积分控制相当于根据当时的误差值，周期性地微调电位器的角度。温度低于设定值时误差为正，积分项增大一点点，使加热电流增加；反之积分项减小一点点。只要误差不为零，控制器的输出就会因为积分作用而不断变化。积分这种微调的“大方向”是正确的，因此积分项有减小误差的作用。只要误差不为零，积分项就会向误差减小的方向变化。在误差很小的时候，比例部分和微分部分的作用几乎可以忽略不计，但是积分项仍然不断变化，用“水滴石穿”的力量，使误差趋近于零。

在系统处于稳定状态时，误差恒为零，比例部分和微分部分均为零，积分部分不再变化，并且刚好等于稳态时需要的控制器的输出值，对应于上述温度控制系统中电位器转角的位置L。因此积分部分的作用是消除稳态误差，提高控制精度，积分作用一般是必需的。在纯比例控制的基础上增加积分控制（即PI控制），被控量最终等于设定值（见图9-15），稳态误差被消除。

图9-14 积分的近似运算

图9-15 PID控制器输出中的积分分量

（3）积分控制的缺点(www.xing528.com)

积分项与当前误差值和过去的历次误差值的累加值成正比，因此积分作用具有严重的滞后特性，对系统的稳定性不利。如果积分时间设置得不好，其负面作用很难通过积分作用迅速地修正。如果积分作用太强，相当于每次微调电位器的角度值过大，其累积的作用与增益过大相同，会使系统的动态性能变差，超调量增大，甚至使系统不稳定。积分作用太弱，则消除误差的速度太慢。

（4）积分控制的应用

PID的比例部分没有延迟，只要误差一出现，比例部分就会立即起作用。具有滞后特性的积分作用很少单独使用，它一般与比例控制和微分控制联合使用，组成PI或PID控制器。PI和PID控制器既克服了单纯的比例调节有稳态误差的缺点，又避免了单纯的积分调节响应慢、动态性能不好的缺点，因此被广泛使用。

如果控制器有积分作用（例如采用PI或PID控制），积分能消除阶跃输入的稳态误差，这时可以将增益调得小一些。

（5）积分部分的调试

因为积分时间T_I在式（9-1）的积分项的分母中，T_I越小，积分项变化的速度越快，积分作用越强。综上所述，积分作用太强（即T_I太小），系统的稳定性变差，超调量增大。积分作用太弱（即T_I太大），系统消除稳态误差的速度太慢，T_I的值应取得适中。

3.对微分控制作用的理解

（1）微分的几何意义与近似计算

在误差曲线e（t）上作一条切线（见图9-16），该切线与x轴正方向的夹角α的正切值tanα即为该点处误差的一阶导数de（t）/dt。PID控制器输出表达式（9-1）中的导数用下式来近似：

式中，e（n-­1）（见图9-16）是第n­1次采样时的误差值。

（2）微分部分的物理意义

PID输出的微分分量与误差的变化速率（即导数）成正比，误差变化越快，微分分量的绝对值越大。微分分量的符号反映了误差变化的方向。在图9-17的A点和B点之间、C点和D点之间，误差不断减小，微分分量为负；在B点和C点之间，误差不断增大，微分分量为正。控制器输出量的微分部分反映了被控量变化的趋势。

图9-16 微分的近似计算

图9-17 PID控制器输出中的微分分量

有经验的操作人员在温度上升过快，但是尚未达到设定值时，根据温度变化的趋势，预感到温度将会超过设定值，出现超调。于是调节电位器的转角，提前减小加热的电流。这相当于士兵射击远方的移动目标时，考虑到子弹运动的时间，需要一定的提前量一样。

在图9-17中启动过程的上升阶段（A点到E点），被控量尚未超过其稳态值，超调还没有出现。但是因为被控量不断增大，误差e（t）不断减小，误差的导数和控制器输出量的微分分量为负，使控制器的输出量减小，相当于减小了温度控制系统加热的功率，提前给出了制动作用，以阻止温度上升过快，所以可以减小超调量。因此微分控制具有超前和预测的特性，在温度尚未超过稳态值之前，根据被控量变化的趋势，微分作用就能提前采取措施，以减小超调量。在图9-17的E点和B点之间，被控量继续增大，控制器输出量的微分分量仍然为负，继续起制动作用，以减小超调量。

闭环控制系统的振荡甚至不稳定的根本原因在于有较大的滞后因素，因为微分分量能预测误差变化的趋势，微分控制的超前作用可以抵消滞后因素的影响。适当的微分控制作用可以使超调量减小，调节时间缩短，增加系统的稳定性。对于有较大惯性或滞后的被控对象，控制器输出量变化后，要经过较长的时间才能引起反馈值的变化。如果PI控制器的控制效果不理想，可以考虑在控制器中增加微分作用，以改善闭环系统的动态特性。

（3）微分部分的调试

微分时间T_D与微分作用的强弱成正比，T_D越大，微分作用越强。微分作用的本质是阻碍被控量的变化，如果微分作用太强（T_D太大），对误差的变化压抑过度，将会使响应曲线变化迟缓，超调量反而可能增大。此外微分部分过强会使系统抑制干扰噪声的能力降低。

综上所述，微分控制作用的强度应适当，太弱则作用不大，过强则有负面作用。如果将微分时间设置为0，微分部分将不起作用。

（4）不完全微分PID

下面是PID_Compact指令的PID输出y的公式。微分作用的引入可以改善系统的动态性能，其缺点是对干扰噪声敏感，使系统抑制干扰的能力降低。为此在微分部分增加一阶惯性滤波环节1/（aT_Ds+1），以平缓PID控制器输出中微分部分的剧烈变化，这种PID称为不完全微分PID。微分项中的T_D为微分作用时间，a为微分延迟系数，微分延迟T₁=aT_D是微分部分增加的一阶惯性滤波环节的时间常数。