附录：证明定理6.1

在本文中，我们假设以下规律性条件.

（C.1）协变量向量X（t）和权重函数W（t）对于所有t∈[0，τ]

（C.2）函数g是两次连续可微的.

（C.3）对于所有t∈[0，τ]，函数W（t）一致收敛到确定性函数w（t）.

（C.4）存在τ＞0，满足Pr（Ci≥τ）＞0，i＝1，...，n

（C.5）矩阵Σ对于所有t∈[0，τ]是正定的

是正定的，其中E是期望.

引理L.1.假设条件（C.1）-（C.6）成立.如果β0＝β（′10，β′20）′是参数的真实值，则

证明：注意

由于是通过在中求解V（γ）＝0获得的γ的最大部分似然估计，我们有（参见p148-149，Therneau和Grambsch（1990））

一些简单的代数导致

如Li等人（2010）的附录所示收敛到零均值高斯分布，且具有协方差矩阵Σ，我们有

引理L.2假定条件（C.1）-（C.6）成立.如果β0＝β（′10，β′20）′是参数的真实值，则

证明：可以证明

在条件（C.1）和（C.3）下，‖ϵi1‖＝op（1），‖ϵi2‖＝op（1），‖ϵi5‖＝op（1），‖ϵi6‖＝op（1）成立.请注意（参见p.1103-1104，Andersen and Gill（1982））

然后在条件（C.1）-（C.3）和对μ0（t），的一致性下，有

在E1中，每个i，是可以预见的且有限，而是鞅.则

是鞅积分，并且以概率收敛到零.同样，类似于p.300 Fleming and Harrington（1991），在γ＝γ0处，对逐项泰勒展开，在E2中可写为

其中γ*在和γ0之间的线段上，而H是累积向量，定义为(www.xing528.com)

根据Lin等（2000），可以证明H（t；γ0）在t处几乎处处收敛到确定性函数

和

因此，在E2中，是紧的，因此等于

因此

其中是鞅积分，并且以概率收敛到零.因此，i3＝op（1）.同理，可以证明i4＝op（1）和i7＝op（1）.因此，

于c∈Rp，以下分解成立：

由（6.2.7）式，I1和I2都是op（1）.从而有

根据大数定律，当n→∞时，

即

引理L.3.假设条件（C.1）-（C.4）成立.如果β0＝β（′10，β′20）′为真实参数的值，则

证明：在（6.2.7）式中，我们有，i＝1，2，...，n.因为Uiβ（0）是ii..d.r.v.和E[Wi（β0）W′iβ（0）]＝Σ＜∞，Ui（β0）的二阶矩有限.然后通过Owen（2001）的Lemma11.2，可以证明引理L.3.

定理6.1的证明：由Owen（1990），设和λ＝ρθ，其中ρ≥0和‖θ‖＝1.则

我们已经证明在引理L.2中Wiβ（0）W′iβ（0）＋op（1）.然后并且由引理L.3中有Zn＝op（n1/2）.基于引理L.1，有

然后，根据等式（6.2.6）和Owen（1990），有

结合‖λ‖＝Op（n1/2）和Zn＝op（n1/2），它可以证明

通过等式（6.2.5）的泰勒展开，有

由引理L.1和Slutsky定理证明了定理6.1.

定理6.2的证明：证明类似于Yu等（2011）命题3的证明.我们可以写Z＝（（Z（1））′，（Z（2））′）′，所以X＝（（X（1））′，（X（2）））′，是对应于β0＝