模型估计：深入了解数据分析中的重要环节

在本小节中，我们将讨论模型（4.2.2）与故障时间数据O＝（O1，...，On）的拟合，其中O′i＝（Ci，δi，Z′i）表示对象i的观察数据.令c1＜...＜ck表示观察到的有序故障时间，并假设可以将Λ0c（t）写为

其中a′＝（a1，...，ak）是未知参数的向量.定义θ＝（a′，γc′，σ2′）.然后得出的完整数据似然函数具有以下形式

有相应的边际似然

其中φ（·；σ）表示N（0，σ2）的密度函数.

为了使L（θ；O）相对于θ最大化，一种常用的方法是应用EM算法.为了实现EM算法，我们首先考虑E步骤，以给定当前估计值θ和观测数据O来计算对数似然函数的条件期望.为此，请注意，对数似然函数可以写为

其中

要计算E{l（θ）|O，θ（m）}，我们需要计算(www.xing528.com)

其中θ（m）表示θ的当前估计值，在给定Oi和θ的情况下，vi的条件密度

显然，这种积分没有封闭形式.为了计算它，设{n（l）；i＝1，...，n；l＝1，...，L}是来自N（0，{σ（m）}2）的Lii..d.个样本.然后，可以由下式近似Ei{g（vi；θ）|Oi，θ（m）}

现在我们考虑EM算法的M步，该步相对于θ最大化E{l（θ）|O，θ（m）}.为此，通过取θ导数并将导数设置为零，我们得到以下方程式

为j＝1，...，k，

是为了更新估算θ的θ（m＋1）.在实践中，我们建议首次（4.4.2）并让θ＝θ（m），获得，从而获得.用替换Λ0c，可以求解（4.4.3）得到，然后计算.最后，给定θ的估计值就可以计算的vi的条件期望：

再次可以用（4.4.3）来近似.