正弦交流电的三个要素

3.1 正弦交流电三要素

随时间按正弦规律变化的交流电称为正弦交流电，其波形如图3－4所示。目前广泛使用的交流电都是正弦交流电，如无特殊说明，本书所指的“交流电”都是指正弦交流电。由于正弦交流电量的大小和方向随时间做周期性变化，因此在分析和计算交流电路前，首先假定正弦交流电量的参考方向，参考方向与实际方向一致，其值为正，在波形图上为正半周；参考方向与实际方向相反，其值为负，在波形图上为负半周。

图3－4　正弦交流电流波形图

1.2.1　瞬时值、最大值和有效值

瞬时值、最大值和有效值是反映交流电大小的物理量。

1.瞬时值

交流电在某一时刻的值称为瞬时值。瞬时值用小写字母表示，例如：u、i、e分别表示电压、电流、电动势的瞬时值。

2.最大值

瞬时值中最大的值称为最大值，也称为幅值、峰值或振幅。最大值用大写字母加下标m表示，例如：Um、Im、Em分别表示电压、电流、电动势的最大值。

3.有效值

交流电的瞬时值是随时间而变化的，不便于用它表示正弦量的大小。工程上常用有效值来计量正弦量的大小。

交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的。若交流电和直流电同时分别通过两个相同阻值的电阻器，当在同样的时间内产生的热量相等时，称直流电流值为交流电流的有效值。有效值用大写字母表示，例如：U、I、E分别表示电压、电流、电动势的有效值。

正弦交流电的有效值与最大值之间的关系如下：

正弦电动势、电压、电流的瞬时值表达式为

在交流电路中，一般所讲电压或电流的大小都是指有效值，如交流电表测出的电压或电流值，电器上标明的额定值等。但电器上的耐压值是指最大值。

边学边练

例：已知一正弦交流电压u＝311sin314t，试求最大值Um、有效值U和t＝0.1s时的瞬时值。

解：

一台耐压为300V的电器，是否可用于220V的交流电路上？

1.2.2　周期、频率和角频率

周期、频率和角频率是反映交流电变化快慢的物理量。

1.周期

交流电完成一次周期性变化所需的时间称为周期，用符号T表示，单位为秒（s），比秒小的常用单位还有毫秒（ms）、微秒（μs）、纳秒（ns）。它们之间的换算关系为

1s＝103ms＝106μs＝109ns

2.频率

交流电在单位时间（1s）内完成周期性变化的次数称为频率，用符号f表示，单位为赫兹（Hz）。常用的单位还有千赫（kHz）和兆赫（MHz）。它们之间的换算关系为

1Hz＝10－3kHz＝10－6MHz

根据周期和频率的定义可知，周期与频率互为倒数，即

我国和大多数国家都采用50Hz作为电力系统的供电频率，习惯上称为“工频”。日本、美国等少数国家采用的交流电频率为60Hz。

3.角频率

交流电在单位时间（1s）内角度的变化量称为角频率，用符号ω表示，单位为弧度／秒（rad／s）。因正弦交流电在一个周期内变化2π的角度，因此角频率、周期和频率有以下关系：

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式中，ω、T、f都是表示正弦量变化快慢的物理量，只要知道其中一个，即可求出其他两个量。

边学边练

例：我国工业的照明用电的频率为f＝50Hz，求其周期和角频率。

解：周期为

角频率为　ω＝2πf＝2π×50＝314（rad／s）

1.2.3　相位、初相位和相位差

正弦量是随时间而变化的，要确定一个正弦量还必须从计时起点（t＝0）上看。所取的时间起点不同，正弦量的初始值就不同，到达最大值或某一特定值所需的时间也就不同。

1.相位

在式（3－5）中，（ωt＋φu）称为正弦量的相位角，简称为相位。

2.初相位

当t＝0时相位角为φu，称为初相角或初相位，简称为初相，用符号φ表示，单位为弧度（rad）或度（°）。初相可以为正、负或零。为了避免混乱，规定初相角的取值为－π≤φ≤π（－180°≤φ≤180°）。

3.相位差

在交流电路中常引用“相位差”这个概念来描述两个同频正弦量之间的相位关系，即两个同频正弦量相位之差，用Δφ表示。相位差的取值范围也为－π≤Δφ≤π（－180°≤Δφ≤180°）。

设同频正弦电压u和电流i，其波形图如图3－5所示，其数学表达式分别为

u＝Umsin（ωt＋φu）

i＝Imsin（ωt＋φi）

则u、i的相位差为

可见，相位差也是它们的初相位之差，与时间无关。

从图3－5看出，u和i的初相不同，它们变化的步调不一致，u比i先到达最大值。

图3－5　电压与电流相位差

根据相位差，两个同频率正弦交流电相位之间的关系，见表3－1。两正弦量的相位差与波形图如图3－6所示。

表3－1　两个同频率正弦交流电相位之间的关系

图3－6　两正弦量的相位差与波形图

（a）Δφ＜0；（b）Δφ＞0；（c）Δφ＝0；（d）Δφ＝±π；（e）Δφ＝±

（1）两个同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。

（2）不同频率的正弦量不存在相位差的概念。

边学边练例：已知正弦交流电流的电压u和电流瞬时值分别为，分别写出该电流的电压和电流的最大值、有效值、频率、周期、角频率和初相，并写出电压和电流的相位差。

解：电压的最大值Um＝2202≈311（V）　电流的最大值Im＝32≈4.2（A）

电压的有效值　电流的有效值

角频率ω＝100π＝314（rad／s）

频率

周期

电压初相，电流初相。

电压与电流的相位差。

综上所述，一个正弦交流电可用三个特征量来确定，最大值反映了正弦量大小的变化范围，角频率反映了正弦量变化的快慢，初相位反映了正弦量的初始状态。因此，通常把最大值、角频率和初相位称为正弦交流电的三要素。