应用与推导：复合双悬臂梁分析

在断裂力学中，双悬臂梁模型经常被用来测量均质材料的断裂韧性。值得关注的是，Honein和Herrmann［65］将该模型成功地应用于研究非均质材料的弹性模量梯度效应，获得了裂纹在具有弹性模量梯度方向的材料中扩展时驱动力的解析表达式。Kolednik和Suresh［47－48］将该模型成功地应用于研究非均质材料的屈服强度梯度效应，同样获得了裂纹在具有屈服强度梯度方向的材料中扩展时驱动力的解析表达式。这些解析表达式不仅仅可以用来研究弹性模量梯度和屈服强度梯度这两种效应对裂纹扩展驱动力的影响，更重要的是可以用来实验研究非均质材料的断裂韧性，这些理论成果已经被应用于实验研究和有限元分析中［66－67］。在本研究工作中，将悬臂梁模型推广为一复合双悬臂梁模型，它将用于研究激光预处理钢基体在淬火层深度方向导致的残余应力和显微硬度梯度效应对裂纹扩展驱动力的影响。值得强调的是，这里的淬火层深度方向指的是裂纹扩展方向垂直于界面，并且裂纹尖端位于界面层内，这里的界面层与前面的含义相同，不再赘述，如图7.10所示。

图7.10　复合双悬臂梁模型

在此模型中，一对外界载荷Fp施加在复合双悬臂梁的悬臂端，激光预处理钢基体产生的残余压应力σR可以认为是一对外界载荷施加在悬臂梁基体硬化区部分的上、下两个面上。在此模型中，还假定裂纹尖端位于硬化区的中部（界面层内），且深入在硬化区中的长度a－h1远远小于激光处理层的总深度h2，即a－h1≪h2，因此，本章将残余压应力σR沿着a－h1的长度做了一个平均值的处理，即σR为长度a－h1上的残余压应力的平均值。当裂纹长度等于a时，根据复合双悬臂梁的基本理论，在悬臂端由于Fp产生的垂直位移为

由残余压应力σR产生的垂直位移为

对于残余拉应力的情形，只要将式（7.9）中右端的σR用－σR代替即可。此处的I为一根梁的惯性矩，B为复合双悬臂梁的厚度。于是可以得到由Fp和σR在悬臂端产生的总位移，即式（7.8）和式（7.9）之和：

对于线弹性断裂力学的小范围屈服条件，裂纹尖端的圆形塑性区的半径可以采用Irwin［68］的模型给出：

式中，σs为塑性区中心的屈服强度。对于一给定的载荷，屈服强度σs的大小决定了塑性区尺寸的大小ry。从式（7.11）可看出，塑性区尺寸的大小ry与屈服强度σs的平方成反比。在整章中，始终假定ry远远小于长度a－h1和复合双悬臂梁的尺寸。式（7.11）中的β为常数，对于平面应变的情形，β等于1／（6π）。G为能量释放率，代表在裂纹的扩展过程中，每单位裂纹面积上所释放的能量。对于本章的复合双悬臂梁，经计算：

对于一种给定的金属材料，显微硬度与屈服强度有着具体关系，这种具体的关系可以写成［49－55］

此处的k为连接显微硬度和屈服强度的无量纲系数，也叫约束因子。对于一种给定的材料，k依赖于该种材料的力学性能，包括其弹性模量、屈服强度、硬化指数、泊松比。关于k的确定，可以采用实验的方法［49］，也可以采用基于量纲分析的有限元计算分析方法［51－55］。根据文献［53］的结论有：对于大多数的理想弹塑性金属材料，其屈服强度σs与弹性模量E的比值小于0.01，即0＜σs/E＜0.01，在这种情形下，k在1／2.6和1／2.5之间。根据文献［52］的结论有：对于大多数的金属材料（考虑应变硬化效应），k在1／2.8和1／1.7之间，如果材料的屈服强度σs与弹性模量E的比值小于0.01，即0＜σs/E＜0.01，则k≈1／2.8。但是，Tabor［49］和Ashby与Jones［50］认为如果不考虑加工硬化效应，k可以近似等于1／3。通过量纲分析和根据文献［52－55］的结果，可以得到本章中的显微硬度变化率等效于屈服强度的变化率，因为本章假定的基体材料为理想弹塑性材料，同时激光处理区与原始基体具有相同的弹性模量。文献［52－54］的结果表明，泊松比的变化对k影响并不敏感。将式（7.13）代入式（7.11）得(www.xing528.com)

由于考虑了裂纹尖端的小范围屈服效应，原来的裂纹长度应该用有效的裂纹长度来代替，即在式（7.10）中，a应该用aeff＝a＋ry来代替，即

于是就得到了考虑外界载荷Fp、残余应力σR和裂纹尖端理想弹塑性变形时的总位移表达式。Rice［69］指出，对于可控载荷的情形，弹性体的势能可以通过以下积分得到：

利用式（7.12）和式（7.14），再将式（7.15）代入式（7.16），就可以得到势能的具体表达式：

其中Ci（i＝1，2，3，…，9）由附录一中的附录A给出。

由式（7.17），再结合式（7.5）、式（7.6）和式（7.7），就可以得到所期望的解析表达式为

其中Ai（i＝1，2，3，…，11）由附录一中的附录B给出，λ－（2i＋1）（i＝1，2，3，4）由附录一中的附录C给出。

式（7.18）为包含残余应力的裂纹扩展驱动力项，式（7.19）为包含残余应力和显微硬度梯度效应的裂纹扩展驱动力项，式（7.20）为总的裂纹扩展驱动力项。