应力计算与强度条件的优化方案

现在求横截面上任一点k 点的应力(图11.16)。k 点的应力是轴向压缩的正应力σN 和平面弯曲的正应力σMz的叠加。轴向压缩时横截面上各点的应力相同,其值为:

平面弯曲引起图中k 点的正应力为:

k 点的正应力为:

图11.16

式中σMz的正负号可由变形情况判定:当k 点处于受拉区时取正号;反之取负号。

从图11.16 中可以看出:最大压应力发生在距偏心力P 较近的截面边线n—n 上;最大拉应力发生在距偏心力较远的截面边线m—m 上,它们分别为:

偏心压缩的强度条件为:

图11.16 中的偏心力P 通过截面的对称轴y,称为单向偏心压缩。从图中可见,单向偏心压缩时,中性轴是一条与z 轴平行的直线。在中性轴上正应力为零。

【例11.4】　某矩形柱的受荷情况如图11.17 所示。由屋架传来的压力为P1 =100 kN,由吊车梁传来的压力为P2 =30 kN,P2 与柱轴线的偏心距e=0.2 m,柱的截面为矩形。已知截面宽度b=200 mm,试问要使柱截面不产生拉应力,截面高度h 应是多大? 在计算确定了尺寸h后,柱的最大压应力是多少?

图11.17

【解】　将荷载P2 向截面形心简化,柱的轴向压力为:

P2 平移后产生的附加力偶矩为:

要使截面不产生拉应力,应满足σmax≤0。

解得:

故应取h=0.28 m。(www.xing528.com)

当h=0.28 m 时,截面的最大压应力为:

或

【例11.5】　某圆形截面柱如图11.18 所示,柱受上部结构传来的荷载1 600 kN,偏离柱中心e=0.25 m,下部圆形混凝土基础埋深2 m,直径为3 m,基底下为砾石层,抗压强度[σ]y =0.35 MPa。从正应力强度观点看,该柱能稳定吗?

图11.18

【解】　①稳定分析。基础稳定就整体稳定,且基础任一横截面上内力相等,故要基础稳定,只要其底部压在砾石层上的压应力不超过砾石容许抗压强度,同时任何一侧不出现拉应力。基础底截面应力与砾石层受力互为作用与反作用,只需求出基底应力,反方向就是砾石层所受的压应力。

②计算基底截面上的应力。基底面上有轴力N= -P 和弯矩M,其数值分别为:

弯矩M 使基础底部左边受拉、右边受压。

基底的截面面积为:

基底的抗弯截面系数为:

Wz = π

32 d3 = π

32×32 = 2.65(m3)

由轴向压力引起的正应力为:

由弯矩M 引起左右两边缘点上的正应力为:

所以,基底截面左、右边缘线上的正应力为:

③校核砾石层强度。砾石层所受压应力与柱底压应力互为作用与反作用。

故该柱不稳定,可能向右倾斜或翻倒。