如何用叠加法计算斜弯曲变形及弯曲应力

斜弯曲的变形计算也可以用叠加法,仍以图11.4 所示的悬臂梁为例。设欲求自由端的挠度f,方法是先分别求出两个平面弯曲的挠度,如y 方向的挠度fy 为:

图11.5

图11.6

z 方向的挠度fz 为:

总挠度为上述两个挠度的几何之和,如图11.7 所示,其大小为:

将fy 和fz 的值代入式(11.4),即可求得f 值。

至于总挠度f 的方向,总挠度方向与F 力的方向并不一致,即荷载平面不与挠曲线平面重合,如图11.8 所示。

图11.7

图11.8

【例11.1】　如图11.9 所示的工字形简支钢梁,跨中受集中力F 作用。设工字钢的型号为22b。已知F=20 kN,E=2.0 ×105 MPa,φ=15°,l=4 m。试求:危险截面上的最大正应力、最大挠度。

图11. 9

【解】　①计算最大正应力。先把荷载沿z 轴和y 轴分解为两个分量:

(www.xing528.com)

危险截面在跨中,按简支梁计算其最大弯矩分别为:

根据上述两个弯矩的方向,可知最大应力发生在D1 和D2 两点,如图11.9(b)所示。其中D1 点产生最大压应力,D2 点产生最大拉应力。两点应力的绝对值相等,所以计算一点即可,如计算D2 点的应力:

由型钢表查得Wz =325 cm3 =325 ×103 mm2,Wy =42.7 cm3 =42. 7 ×103 mm3,代入上式,得:

②计算最大挠度。先分别计算出沿z 轴和y 轴方向的挠度分量:

由型钢表查得,Iy =239 cm4,Iz =3 570 cm4,sin 15° =0. 259,cos 15° =0. 966。根据式(11.4),得总挠度为:

设总挠度f 与y 轴的夹角为β,读者可思考计算,其数值不等于φ。

③作为比较,设力F 的方向与y 轴重合,即发生的是绕z 轴的平面弯曲,现在求此情况下的最大正应力σmax和最大挠度f。

此时D1 点和D2 点的应力仍是最大的,其值为:

将斜弯曲时的最大应力与此应力进行比较,得:

而最大挠度f′为:

将斜弯曲时的最大挠度f 与此f′进行比较,得:

从上面的比较中可见,当Iz 比Iy 大得多时,力的作用方向,只要与主惯性轴稍有偏离,则最大应力和最大挠度比没有偏离时的平面弯曲会增大很多。例如,本例力F 仅偏离15°,而最大应力和最大挠度分别为平面弯曲时的3 倍和4 倍,所以对于两个主惯性矩相差较大的梁,应尽量避免斜弯曲的发生。