梁的强度条件介绍

1)梁的正应力强度条件

(1)最大正应力

强度计算时,必须算出梁的最大正应力。产生最大正应力的截面称为危险截面。对于等直梁,最大弯矩所在的截面就是危险截面。危险截面上的最大应力点称为危险点,它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。

对于中性轴是截面对称轴的梁,最大正应力的值为:

令

则

式中,Wz 称为抗弯截面系数(或模量),它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量,其常用单位为m3 或mm3。对高为h、宽为b 的矩形截面,其抗弯截面系数为:

对直径为D 的圆形截面,其抗弯截面系数为:

对工字钢、槽钢、角钢等型钢截面的抗弯截面系数Wz,可从附录中查得。

(2)正应力强度条件

为了保证梁具有足够的强度,必须使梁危险截面上的最大正应力不超过材料的许用应力。

式(9.9)为梁的正应力强度条件。

根据强度条件可解决工程中有关强度方面的3 类问题。

①强度校核。在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下,可校核梁是否满足正应力强度条件。即校核是否满足式(9.9)。

②设计截面。当已知梁的荷载和所用的材料时,可根据强度条件,先计算出所需的最小抗弯截面系数。

然后根据梁的截面形状,再由Wz 值确定截面的具体尺寸或型钢号。

③确定许用荷载。已知梁的材料、横截面形状和尺寸,根据强度条件先算出梁所能承受的最大弯矩。

然后由Mmax与荷载的关系,算出梁所能承受的最大荷载。

2)梁的剪应力强度条件

为保证梁不破坏,除了要满足正应力强度外,还要满足剪应力强度,梁的最大剪应力不应超过材料的许用剪应力[ ]。

式(9.10)称为梁的剪应力强度条件。

在梁的强度计算中,通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸,然后按剪应力强度条件进行校核。对于细长梁,按正应力强度条件设计的梁一般都能满足剪应力强度要求,就不必作剪应力校核。但在以下几种情况下,需校核梁的剪应力:

①最大弯矩很小而最大剪力很大的梁;

②焊接或铆接的组合截面梁(如工字形截面梁);

③木梁,因为木材在顺纹方向的剪切强度较低,所以木梁有可能沿中性层发生剪切破坏。

【例9.18】　如图9.36 所示,一悬臂梁长l=1.5 m,自由端受集中力F =1.4 kN 作用, q =0.6 kN/m,梁由木材制成,直径d=120 mm,[σ] =12 MPa。试校核梁的正应力强度。

图9.36

【解】　①求最大弯矩的绝对值。

②求抗弯截面系数。

③校核正应力强度。

所以,梁不满足正应力强度条件。

【例9.19】　支承在墙上的木梁承受由地板传来的荷裁,简化后的木梁受力图如图9.37 所示。木材的许用弯曲应力[σ] =12 MPa,要求木梁做成矩形截面,其高、宽比为h/b =1.5,试确定此木梁的截面尺寸。

【解】　①计算最大弯矩。由弯矩图可知最大弯矩值为:(www.xing528.com)

②根据强度条件计算需要的抗弯截面系数Wz。

③确定截面尺寸。

所以

为施工方便,取截面宽b=130 mm,高h=190 mm。

选择梁的截面尺寸前,梁的自重无法计算。通常可估算梁的自重,即强度条件选择截面,待截面选定后,再考虑进行一次梁实际自重的强度校核。

图9.37

【例9.20】　如图9.38 所示, 40a 号工字钢简支梁,跨度l=8 m,跨中点受集中力F 作用。已知[σ] =140 MPa,不考虑自重,求许用荷载[F]。

图9.38

【解】　①由型钢表查有关数据。抗弯截面系数为:

②按荷载求Mmax。

③强度条件求[F]。

解得:

故

【例9.21】　某T 形截面的外伸梁,受力情况如图9.39(a)所示。已知材料的许用弯曲应力[σ] =80 MPa,许用剪应力[ ] =35 MPa,截面各部分尺寸为a =40 mm,b =30 mm,c=80 mm,形心到上、下边的距离分别为y1 =72 mm,y2 =38 mm,试校核此梁的强度。

图9.39

【解】　①剪力图如图9.39(b)所示,弯矩图如图9.39(c)所示。C 截面弯矩绝对值最大。

②计算截面对中性轴z 的惯性矩及抗弯截面系数。

③正应力强度校核。由强度条件可知,抗弯截面系数小则应力大,故危险截面C 最大应力绝对值发生在截面的上边缘,为压应力。

④剪应力强度校核。最大剪应力发生在CB 段:

故梁的强度足够。

3)梁的合理截面

设计梁时,一方面要保证梁具有足够的强度,使梁在荷载作用下能安全地工作;同时应使设计的梁能充分发挥材料的潜力,以节省材料,这就需要选择合理的截面形状和尺寸。

梁的强度一般由横截面上的最大正应力控制。当弯矩一定时,横截面上的最大正应力与抗弯截面系数Wz 成反比,Wz 越大就越有利。而Wz 的大小是与截面的面积及形状有关,合理的截面形状是在截面面积A 相同的条件下,有较大的抗弯截面系数Wz,也就是说比值Wz/A 大的截面形状合理。由于在一般截面中,Wz 与其高度的平方成正比,所以应尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较远的位置,这样在截面面积一定的情况下可以得到尽可能大的抗弯截面系数Wz,而使最大正应力σmax减小,或者在抗弯截面系数Wz 一定的情况下,减少截面面积,以节省材料和减轻自重。所以,工字形、槽形截面比矩形截面合理,矩形截面立放比平放合理,正方形截面比圆形截面合理。

梁截面形状的合理性,也可从正应力分布的角度来说明。梁弯曲时,正应力沿截面高度呈直线分布,在中性轴附近正应力很小,这部分材料没有充分发挥作用。如果将中性轴附近的材料尽可能减少,而把大部分材料布置在距中性轴较远的位置处,则材料就能充分发挥作用,截面形状就显得合理。所以,工程上常采用工字形、圆环形、箱形(图9.40)等截面形式。工程中常用的空心板、薄腹梁等就是根据这个道理设计的。

此外,对于用铸铁等脆性材料制成的梁,由于材料的抗压强度比抗拉强度大得多,所以,宜采用T 形等对中性轴不对称的截面,并将其翼缘部分置于受拉侧(图9.41)。为了充分发挥材料的潜力,应使最大拉应力和最大压应力同时达到材料相应的许用应力。

图9.40

图9.41