一般物体重心的坐标公式优化：如何计算物体重心坐标

1)一般物体重心的坐标公式

图8.1

如图8.1 所示,为确定物体重心的位置,将它分割成n 个微小块,各微小块重力分别为G1、G2、…、Gn,其作用点的坐标分别为(x1、y1、z1)、(x2、y2、z2)、…、(xn、yn、zn),各微小块所受重力的合力W 即为整个物体所受的重力G = ∑Gi,其作用点的坐标为C(xc、yc、zc)。对y 轴应用合力矩定理,有:

得

同理,对x 轴取矩可得:

将物体连同坐标转90°而使坐标面Oxz 成为水平面,再对x 轴应用合力矩定理,可得:

因此,一般物体的重心坐标的公式为:

2)均质物体重心的坐标公式

对均质物体用γ 表示单位体积的重力,体积为V,则物体的重力G =Vγ,微小体积为Vi,微小体积重力Gi =Vi·γ,代入式(8.1),得均质物体的重心坐标公式为:

由上式可知,均质物体的重心就是其几何中心,称为形心。对均质物体来说,重心和形心是重合的。

图8.2

3)均质薄板的重心(形心)坐标公式

对于均质等厚的薄平板,如图8.2 所示。取对称面为坐标面Oyz,用δ 表示其厚度,Ai 表示微体积的面积,将微体积Vi =δ·Ai 及V =δ·A 代入式(8.2)得重心(形心)坐标公式为:(www.xing528.com)

因每一微小部分的xi 为0,所以xc =0。

4)平面图形的形心计算

形心就是物体的几何中心。因此,当平面图形具有对称轴或对称中心时,则形心一定在对称轴或对称中心上,如图8.3 所示。若平面图形是一个组合平面图形,则可先将其分割为若干个简单图形,然后可按式(8.3)求得其形心的坐标,这时公式中的Ai 为所分割的简单图形的面积,而zi、yi 为其相应的形心坐标,这种方法称为分割法。另外,有些组合图形可以看作从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成,如果将挖去的面积用负面积表示,则仍可应用分割法求其形心坐标,这种方法又称为负面积法。

图8.3

【例8.1】　试求图8.4 所示T 形截面的形心坐标。

【解】　将平面图形分割为两个矩形,如图8.4 所示,每个矩形的面积及形心坐标为:

由式(8.3)可求得T 形截面的形心坐标为:

图8.4

图8.5

【例8.2】　试求图8.5 所示阴影部分平面图形的形心坐标。

【解】　将平面图形分割为两个圆,如图8.5 所示,每个圆的面积及形心坐标为:

由式(8.3)可求得阴影部分平面图形的形心坐标为: