流固耦合振动模态分析

水工建筑物区别于其他建筑物的地方，就是无论用于挡水还是输水都要涉及到水体。水作为一种流体，与结构是相互作用的两个系统，它们之间的相互作用是动态的，流体作用在结构上的力把两个系统联系在一起，流体使结构变形，而结构变形时又改变了流场，于是流体力又发生了变化。这种流体与固体的耦联作用给研究水工建筑物的振动带来了极大的困难。

文献[1]给出了线弹性结构与理想可压缩流体的流固耦合系统的基本方程与定解条件。在直角坐标系x i中，线弹性结构小变形运动的基本方程可表示为：

运动方程：

本构关系：

边界条件：

初始条件：给定系统的初始位移和初始速度。

其中

式中：S为整个边界；Φ为空集；σij、f i、Ti为应力张量、体力和面力密度；u、u¨为位移和加速度；ni为边界法向量；角标s为与结构有关的量。

在直角坐标系x i中，理想可压缩流体小扰动基本方程可表示为：

运动方程：

本构关系：

边界条件包括固壁条件和自由面条件。

固壁条件：

自由面条件：

Sommerfeld条件：

正规性条件：

初始条件：给定速度势及其对时间一阶导数的初始值。

式中：P、ρf分别为流体压力和密度；U i为时均流速的三个分量；C为流体声速，K为流体体积弹性模量。

8.2.3.1 流固耦合系统的基本方程

对结构水流组成的耦合系统，在流体和结构的交界面上，应保持速度和应力的连续条件。对理想流体，要求法向速度和面力在交界面上是连续的，而切向速度则允许间断，即

式中：Uτα、（α=1，2）分别为时均流速和扰动速度沿结构表面的两个主切线方向的分量。

有了连接条件式（8.27）、式（8.28），即可综合式（8.18）～式（8.26）建立流固耦合系统的基本方程和定解条件。

基本方程：

连接条件：见式（8.27）、式（8.28）。

边界条件：(www.xing528.com)

无穷远处条件：

8.2.3.2 流固耦合系统的有限元格式

由于不存在对应式（8.27）～式（8.32）的泛函，因此用伽辽金法建立耦合系统的有限元方程，构造近似的场函数、、、满足强制边界条件式（8.31），利用加权余量的基本思想，则有：

式中：ωi、为权函数，式（8.33）使得微分方程式（8.29）、式（8.30），连接条件式（8.27）、式（8.28），流固自然边界条件式（8.31）和流体辐射条件式（8.32）在全域及边界上得到加权意义上的满足，对式（8.33）进行分布积分，可得等效积分的若形式，将空间域离散为有限个单元体，在单元内进行插值：

式中：ne、n E分别为固体结构和流体区域单元节点数；N a、A分别为结构和流体单元插值函数；u、φA分别为结构单元节点位移值和流体单元节点速度式值。

将式（8.34）代入式（8.33）分部积分后即得等效积分弱形式，用伽辽金法选择权函数，整理后得如下方程：

式中：Cijkl为弹性常数张量，与结构材料特性有关；[Ms]、[K s]、F{}s为与结构有关的质量、刚度和荷载矩阵，可用标准的有限元方法得到；[M p]、[K p]分别为与流体有关的“质量”、“刚度”矩阵，其集成方法与场问题的有限元方法完全一致；[Q]为流固交界面上的耦合矩阵；[Q1]、[Q2]分别为与流体流速有关的耦合矩阵，可用上述表达式沿流固交界面用高斯积分法数值积分集成得到。

式（8.37）即为弹性结构——水流流固耦合振动在一般情况下的有限元方程，式（8.35）为结构域中的耦合关系式，包含了流体运动量，式（8.36）则表示流体域中的流固耦合关系式，包含了结构运动量。因此，流体和结构的运动通过耦合矩阵耦连在一起，体现了流体作用使结构产生位移和变形，而结构的位移和变形又改变了流体作用这样的流固耦合振动的事实。

8.2.3.3 流固耦合系统有限元方程的讨论

对于流固耦合系统，由于流体和结构频率响应特性存在差异，流体部分呈现“低频”特性，结构部分呈现高频特性，尽管现有的流固耦合求解模态分析和时间积分方案原则上都适用于式（8.37）的求解，但从计算规模和效率出发，需对式进行分析讨论。

1.不考虑流固耦合的影响

此时式（8.37）中耦合矩阵全为零，将给出熟悉的两组独立线弹性结构和理想可压缩流体的运动方程式：

由式（8.38）、式（8.39）可按一般理论模态分析方法分别求解结构和流体的模态特性。

2.仅考虑流固惯性耦合的影响

如果仅考虑静止流体或忽略流速对结构动力特性的影响，略去式中与流速有关的项，有：

如果不计流体可压缩性（声速C→∞），式（8.41）中[M p]=0，由此可得：

式（8.42）代入式（8.40），并令[M f]=[Q][K p]-1[Q]T有：

式（8.43）为在静水或动水中忽略流速场影响的弹性结构振动方程。

式中：[M f]为流体附加质量矩阵，它表明流体与结构间的惯性耦合，由此可见，若忽略水的可压缩性，可使得流固耦合方程互相解耦，从而简化计算。

3.不虑流体可压缩性的流固耦合的动力分析

不考虑流体可压缩性，方程（8.37）可写为：

由式（8.45）解出{}φ代入式（8.44），整理后有：

其中

由式（8.46）可知，流速不但引起附加刚度（流固刚性耦合），而且引起附加阻尼（流固阻尼耦合），从式（8.37）中[Q]、[Q1]及[Q2]的表达式看出，附加刚度[K f]与流速二次方成正比，附加阻尼[Cf]与流速一次方成正比。