特征值和特征向量的解法优化

8.2.2.1 子空间迭代法

子空间迭代法实质是用一组假设的初始特征向量将一个高阶特征值问题转化为一个低阶特征值问题，反复进行迭代求解，如果φ1，φ2，…，φn为n阶特征值问题式（8.12）的前q个特征向量，相对应的特征值为ω21，ω22，…，ω2q。令的特征值即为ω，ω，…，ω。设φj（j=1，2，…，q）组成的矩阵为Φ（φj为待定列向量），以Δ左乘Φ即为原特征值问题的前q个特征向量组成的矩阵。

为了求解n阶广义特征值问题，首先假设它的前q阶特征向量，并依次排列构成n×q阶矩阵¯Δk，然后按下列式子进行迭代：

式中：Ω2为q个ω构成的q阶对角阵。

用子空间迭代法求得特征值后，还要核对是否有遗漏。遗漏通常是由于假定的初始特征向量和某一低于p阶的特征向量正交引起的，但一般很少发生。如果有遗漏，可重新假定一组初始特征向量，再进行迭代。

8.2.2.2 Unsymmetric法(www.xing528.com)

Unsymmetric法采用完整的质量矩阵和刚度矩阵，适用于刚度和质量矩阵为非对称的问题（如流固耦合问题），此法采用Lanczos算法求解复数特征值和特征向量。特征值的实部表示固有频率，虚部表示系统稳定性的量度—负值表示系统是稳定的，而正值表示系统是不稳定的。

Lanczos算法是利用向量的正交性，从绝对值大的一边（或小的一边）同时求出若干个特征值。即进行运算，使第二个迭代向量和第一个迭代向量正交，第三个迭代向量和第一、第二个迭代向量正交……如此类推，第k个迭代向量同前k-1个迭代向量正交。这样做虽然对迭代向量本身没有太大意义，但作为过程的副产品，可以得到和原矩阵有相同特征值的三重对角矩阵，使计算程序简单，运算量小，尤其是对大型稀疏矩阵，Lanczos算法更显出其优越性。

对于特征方程系数非对称的情况，Lanczos算法按下述方法进行：（1）适当选取初始向量u 1，v 1。

（2）按k=1，2，…，m-1的顺序进行：

式中：A为特征方程的系数矩阵。