结构动力学相似性与结构动力响应系统的相似性

结构动力学条件相似即结构动力响应系统相似，它与结构的频率、振型、阻尼等因素有关，包括几何条件相似、物理条件相似运动条件相似、边界条件相似。

7.2.2.1 几何条件相似

几何条件相似是指结构模型不仅尺寸、面积、体积相似，而且线应变λε、角应变λϑ、线位移λu等相似比尺满足相似条件。即有：

7.2.2.2 物理条件相似

物理条件相似要求结构材料的力学特性和受力后引起的变化必须相似。在线弹性范围内，根据弹性力学的物理方程，要使模型和原型相似必须满足：

当λρ=1时

式中：λμ为泊松比比尺；λE、λG分别为弹性模量和剪切模量比尺；λσ、λτ分别为正应力和切应力比尺。

7.2.2.3 运动条件相似

运动条件相似要求结构的运动状态和产生运动的条件相似。一般的，随机动荷载作用下结构的运动方程为：

式中：[M]为质量矩阵，由结构质量和水附连质量组成；[Ms]为结构质量矩阵；[M w]为附连质量矩阵；[C]为阻尼系数矩阵；[K]为刚度矩阵（或弹性系数矩阵）；[Z]为由结构约束条件决定的无因次常数矩阵；L为长度特征参数；P（t）为随机动荷载向量；u（t）、u˙（t）、u¨（t）分别为位移向量及其各阶导数。

则式（7.4）可变为：

由式（7.5）可推得相应的比尺关系为：(https://www.xing528.com)

式中：λMs为结构质量比尺；λMw为附连水质量比尺；λc为阻尼系数比尺；λE为弹性模量比尺。

因为系统按重力相似准则设计，则有：

又因为结构几何相似，有：

将式（7.7）、式（7.8）代入式（7.6）可得：

式中：λγs为结构容重比尺；λγw为液体容重比尺。

考虑到原型与模型的液体容重相同（都是水），则有λγw=1，代入式（7.9）可得：

式（7.10）就是结构运动条件相似对结构模型材料容重、阻尼系数和弹性模量的要求。

7.2.2.4 边界条件相似

边界条件相似包括边界约束条件、边界受力条件等的相似。边界约束条件必须与原型相同，对于水工建筑物而言，主要是基础模拟范围的选取问题；边界受力条件相似主要是指边界水荷载的相似，只要水力学条件相似，这一相似就能满足。

由以上分析可知，泄洪激振的水弹性模型可按重力相似律来模拟动荷载，要求结构模型材料满足密度大（λγs=1）、弹性模量小（λE=λL）、等阻尼比（λξ=1）、等泊松比（λμ=1），并合理地选取水域和基础的模拟范围来保证结构动力响应系统的相似。