圆形岛屿的解析解及实用价值探讨

许多珊瑚小岛都近似圆形。对于一个外形近似为圆形的岛屿，采用极坐标，则式（8.1）可表示为：

式中，r为径向坐标；θ为辐角。若岛屿含水层可以简化为中心对称的圆形，则式（8.8）转化为关于r的常微分方程：

将坐标原点取在圆形岛屿中心，设岛屿半径为r0，则边界条件为：

式（8.9）和式（8.10）的解为：(www.xing528.com)

求得潜水面的水头h后，即可求得淡-海水交界面在海平面以下的位置z和淡水透镜体的最大厚度H：

能近似为无限长条形或圆形的岛屿毕竟是不多的，大多数珊瑚岛都具有不规则外形，这种情况下难以解析求解方程式（8.1），只能借助数值求解。Fetter用该方程数值求解了纽约长岛南叉（The South Fork of Long Island）地区地下淡-海水界面，并与区内8口井中观测值进行了比较，除一口井在夏季由于抽水量过大而使过渡带上移外，其余井的观测值与计算值之差在6%以内。

不过无限长条形岛屿的解析解，在某些特定条件下，仍有其实用价值。Vacher运用一个矩形岛屿的水头解，计算了过矩形岛屿中心沿宽度的水头分布和对应的具有相同回补率R、水力传导系数K和宽度的无限长岛屿沿宽度方向的水头分布，并将两结果进行了比较，发现两岛屿中心处水头之差大于宽度方向上其他对应点处水头差。如果矩形岛屿长宽比大于2.9，那么沿宽度方向上，矩形岛屿水头与无限长岛屿水头相比，偏差值不超过1%；如果长宽比大于4.4，那么这一水头差将在0.1%以内，如图8.1所示。图中偏差值的定义是无限长岛屿中心处水头hinf与矩形岛屿中心处水头hrect之差与hinf之比：（hinf-hrect）/hinf。

图8.1　矩形岛屿和对应的无限长岛屿中心水头偏差值随矩形岛屿长宽比值的变化