控制系统稳定性分析优化策略

在MATLAB中，如果已知系统的特征方程，极易求出系统的特征根。根据特征根的分布情况，我们可直接判断出系统稳定性。另外，可利用MATLAB在它的频域图形分析中判断系统的稳定性。MATLAB还提供了直接求解幅值裕量和相位裕量的函数，通过这些函数可以直接分析系统是否稳定以及系统的相对稳定性。

1.利用MATLAB频域分析函数和零极点分布图判断系统的稳定性

应用MATLAB的pzmap函数可以绘制系统的开环零极点分布图，然后结合开环Bode图或开环Nyquist图来判断闭环系统是否稳定。pzmap函数的输入参量P是系统模型，可以是传递函数模型、零极点增益模型或状态空间模型。

【例4-14】给出控制系统开环传递函数为

试用MATLAB绘制系统的零极点分布图和Nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。

【程序】

程序运行结果如图4-58（经过图形属性编辑后）所示。

从图4-58（a）可知，系统开环右极点个数为P=0；从图4-58（b）可以看出，开环奈氏图没有包围（-1，j0）点，N=0，所以满足N=P，闭环系统稳定。另外，从图4-58（c）可以看出，闭环系统单位阶跃响应曲线收敛，故又一次说明了闭环系统稳定。

图4-58　例4-14程序结果图

2.利用MATLAB分析系统的相对稳定性

例4-14通过开环零极点分布图和开环Nyquist图判断了闭环系统的绝对稳定性，但是它不能判定系统的相对稳定性。利用MATLAB控制系统工具箱提供的margin函数，可以求出系统的幅值裕量Kg、相位裕量γ、幅值穿越频率和相位穿越频率。幅值裕量和相位裕量是针对开环线性系统而言，用它们来衡量系统闭环时的相对稳定性。当不带输出变量引用时，margin可在当前图形窗口中绘制出带有幅值裕量及其相应相位交界频率、相位裕量及其相应幅值交界频率显示的Bode图，其中幅值裕量以dB为单位，因而可以用于判定系统相对稳定性。该函数的调用格式为

可以看出，该函数能直接由系统的传递函数来求取系统的幅值裕量Gm和相位裕量Pm，并求出幅值裕量和相位裕量处相应的频率值ωg和ωc。

除了根据系统模型直接求取幅值和相位裕量外，MATLAB的控制系统工具箱中还提供了由幅值和相位相应数据来求取裕量的方法，这时函数的调用格式为

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式中，由bode函数获得的幅值（不是以dB为单位）、相位phase及角频率ω矢量计算出系统幅值裕量和相位裕量以及幅值裕量和相位裕量处相应的频率值ωg和ωc，而不直接绘出Bode图。

在利用MATLAB自动绘图命令bode（num，den）、nyquist（num，den）绘制的频率特性图形窗口中，进行适当的操作可以获得MATLAB自动提供的系统开环频率特性的特征量以及对应的闭环系统是否稳定等信息。光标置于频率特性图的其他位置，右击MATLAB显示功能选项菜单，其中“Characteristics”选项可以用来在特性曲线上标注ωc、ωg及ωp等频率性能指标。将光标移到这些点上，MATLAB将显示对应的频率值、幅值裕量、相位裕量及闭环系统是否稳定等信息。

【例4-15】已知一单位负反馈系统开环传递函数为

试分别求取K=10及K=100时的相位裕量和幅值裕量。

【程序】

程序运行后可得到系统的Bode图，如图4-59所示。

命令窗口输出为

当K=10时，幅值裕量Gm1=3.0000，即20*log 10（3）=9.5424 dB，相位裕量Pm1=25.4489°，相位交界频率ωg1=2.2361s-1，幅值交界频率ωc1=1.2241s-1。

当K=100时，幅值裕量Gm2=0.3000，即20*log 10（0.3）=-10.4576 dB，相位裕量Pm2=-23.5463°，相位交界频率ωg2=2.2361s-1，幅值交界频率ωc2=3.9010 s-1。

频域性能指标数据说明K=10时闭环系统稳定，但K=100时系统闭环是不稳定的。

由图4-59可知，K=100时和K=10时相比，系统的对数相频特性不变，即两条曲线重合，对数幅频特性上移20 dB。

图4-59　K值不同的Bode图