控制系统频率分析的重要性及方法论

Bode图和Nyquist图是系统频率特性的两种重要的图形表示形式，也是对系统进行频率特性分析的重要方法。无论是Bode图还是Nyquist图，都非常适于用计算机进行绘制。MATLAB提供了绘制对数坐标图的Bode函数和绘制系统频率特性极坐标图的Nyquist函数。通过这些函数，不仅可以得到系统的频率特性图，还可以得到系统的幅频特性、相频特性、实频特性和虚频特性，从而可以通过计算得到系统的频域特征量。

1.Bode图的绘制

在MATLAB中，bode命令用来计算连续时间线性定常系统的频率响应幅值和相位角。

bode命令的各种格式如下：

命令中w表示频率ω。

将上述第一种形式的命令输入计算机之后，MATLAB会在屏幕上绘制出相应系统的Bode图。由于没有明确给出频率ω的范围，MATLAB将在系统频率响应的范围内自动选取ω值绘图。

第二种形式的命令自动生成一行矢量的频率点，但不显示频率特性曲线。

在第三种形式的命令中，由于用在定义的频率范围内，如果比较各种传递函数的频率响应，第三种方式显得更方便一些。

当调用左边参数输入命令

时，则bode命令以矩阵的形式返回系统的频率响应幅值、相位和频率。系统频率响应的幅值、相位可在用户指定的频率点处进行评估。相位角以°为单位表示，但不显示频率特性曲线。幅值用以下命令转化为dB

若具体地给出频率ω的范围，则可使用logspace（d1，d2）或者logspace（d1，d2，n）命令。logspace（d1，d2）产生一个包含50个点的矢量，在10d1和10d2之间的空间上进行对数平分。也就是说，为了在0.1 rad/s～100 rad/s之间产生50个点，可输入命令

logspace（d1，d2，n）产生n个点，在10d1和10d2之间进行对数平分。比如，为了在1 rad/s～1 000 rad/s之间产生100个点，可输入命令

有了幅值（单位：dB）、相位和ω这些数据就可以利用MATLAB的下列绘图命令在同一个窗口上同时绘制出系统的Bode图。

如果只想绘制出系统的Bode图，而对获得幅值和相位的具体数值并不感兴趣，则可采用如下简单的调用格式

【例4-12】对于下列系统传递函数

下列MATLAB程序将给出该系统对应的Bode图，其Bode图如图4-56所示。

【程序】

图4-56　G（s）=的Bode图

2.Nyquist图的绘制(www.xing528.com)

控制系统的Nyquist图既可用于判别闭环系统的稳定性，也能确定系统的相对稳定性。由于Nyquist图的绘制工作量很大，因此在分析时一般只能画出它的示意图。但如用MATLAB去绘制，则不仅快捷方便，所得的图形亦较精确。

如果已知系统的传递函数，则应用MATLAB的命令

就能在屏幕上自动生成系统的Nyquist图。

当用户需要指定的频率矢量ω时，可用命令nyquist（num，den，w），ω的单位为s-1，系统的频率响应就是在那些指定的频率点上计算得到的。

nyquist命令还有两种等号左边含有变量的形式

或

MATLAB将以矩阵形式返回系统的频率特性，矩阵包括re、im和w。屏幕上不显示图形，因为MATLAB仅做了系统频率特性的实部、虚部的计算与排列工作。矩阵的re和im包含系统频率特性的实部和虚部，由矢量ω中指定的频率点评估。

如果要产生Nyquist图，则需加命令plot命令根据已算好的实部和虚部数值，画出系统的Nyquist图。

由于用nyquist命令绘图时，[GH]平面实轴和虚轴的范围是MATLAB自动确定的。在绘制Nyquist图时，若要自行确定实轴和虚轴的范围，则需要用下面的命令

及

另外，也可以将以上两行命令合并为一个

因为v命令属高层图形命令，axis（v）不能更改已设定的坐标。若要更改已设定的坐标范围，只要取出re和im的数据，并调用plot、v和axis（v）这3条命令，就能实现设置新的坐标范围。

用MATLAB绘制Nyquist图时，坐标范围的选定是很重要的，因为它涉及图形的质量。若仅需要画出ω由0→∞部分的Nyquist图，则只要把plot命令括号中的函数内容稍做修改，使之变为

值得注意的是，由于nyquist命令自动生成的坐标尺度固定不变，用nyquist函数可能会生成异常的Nyquist图，也可能会丢失一些重要的信息。在这种情况下，为了重点关注Nyquist图在（-1，j0）点附近的形状，着重分析系统的稳定性，需要首先调用axis函数，自行定义坐标轴的显示尺度，以提高图形的分辨率；而在生成Nyquist图时，需要左边带有参数说明的完整的形式调用nyquist函数，然后，调用绘图plot命令绘制更细致的Nyquist图。

【例4-13】对于下列系统传递函数

下列MATLAB程序将给出该系统对应的Nyquist图，如图4-57所示。

图4-57　G（s）=的Nyquist图

【程序】