典型环节的频率特性分析与优化

开环传递函数总可以分解为一些常见因式的乘积，这些常见的因式称为典型环节。因此研究典型环节的频率特性曲线的绘制方法和特点很有必要，本节叙述各典型环节频率特性曲线的绘图要点及绘制方法。

1.比例环节

比例环节的传递函数为

频率特性为

1）比例环节的Nyquist图

由频率特性求得比例环节的幅频特性及相频特性为

比例环节的Nyquist图如图4-3所示。

图4-3　比例环节的Nyquist图

可见，不管频率ω为何值，幅相频率特性曲线都是实轴上的一点。

2）比例环节的Bode图

由式（4-4）、式（4-5）知，比例环节的对数幅频特性和相频特性分别为

比例环节的Bode图如图4-4所示。Bode图中的幅频特性图是一条平行于横轴的直线，幅值为20lg K（dB），如图4-4（a）所示；Bode图中的相频特性图是一条与横轴重合的直线，与频率ω无关，如图4-4（b）所示。

图4-4　比例环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

2.惯性环节

惯性环节的传递函数为

频率特性为

1）惯性环节的Nyquist图

由频率特性求得其幅频特性和相频特性分别为

由式（4-9）、式（4-10）可知，当ω由0→∞时，惯性环节的幅频特性由1衰减到0，在ω=1/T处，其值为1/；相频特性由0°变到-90°，在ω=1/T处，其值为-45°。惯性环节的Nyquist图如图4-5所示。

图4-5　惯性环节的Nyquist图

2）惯性环节的Bode图

由式（4-9）可得，惯性环节的对数幅频特性为

当ωT≪1，即ω≪1/T时，L（ω）≈0 dB，所以在低频段，对数幅频特性曲线近似为零分贝线，即零分贝线是对数幅频特性曲线的低频渐近线。

当ωT≫1，即ω≫1/T时，L（ω）≈-20lg ωT，所以在高频段，对数幅频特性曲线近似为一条斜率为-20 dB/dec且与横轴交于ω=1/T点的直线，该直线是对数幅频特性曲线的高频渐近线。

高频渐近线和低频渐近线的交点处的频率ω=1/T，称为交界频率或转折频率，惯性环节的对数幅频特性曲线可由两条渐近线构成的折线近似，如图4-6所示。

图4-6　惯性环节的渐近幅频特性图

惯性环节的对数幅频特性渐近线与准确对数幅频特性曲线之间的误差ΔL（ω）由下式计算

误差最大值出现在ω=1/T处，其数值为

在ω=0.1（1/T）～10（1/T）区间的误差如表4-1所示。根据表4-1绘制的惯性环节渐近幅频特性修正曲线如图4-7所示，惯性环节渐近幅频特性经表4-1给出的数据或图4-7所示修正曲线修正后取得的精确幅频特性如图4-8所示。

表4-1　惯性环节渐近幅频特性修正表

图4-7　惯性环节渐近幅频特性修正曲线

另外，由式（4-10）可知，惯性环节的对数相频特性图为一条反正切曲线，且ω=0时，φ（ω）=0°；ω=1/T时，φ（ω）=-45°；ω=∞时，φ（ω）=-90°。惯性环节的Bode图如图4-8所示。

图4-8　惯性环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

3.积分环节

积分环节的传递函数为

频率特性为

1）积分环节的Nyquist图

由频率特性求得积分环节的幅频特性和相频特性分别为

由式（4-15）、式（4-16）看出，当ω由0→∞，积分环节的幅频特性由无穷大衰减到0，其相频特性为与ω无关的常量-90°。积分环节的Nyquist图如图4-9所示。

图4-9　积分环节的Nyquist图

2）积分环节的Bode图

积分环节的对数幅频特性为

由式（4-17）可见，当ω=1时，L（ω）=0，且频率ω每增加10倍，对数幅频特性就下降20 dB，故积分环节的对数幅频特性曲线是一条穿过横轴上点ω=1，斜率为-20 dB/dec的直线。

由式（4-16）可知，积分环节的对数相频特性为φ（ω）=-90°，故积分环节的对数相频特性曲线是一条平行于横轴，纵坐标为-90°的直线。

积分环节的Bode图如图4-10所示。

图4-10　积分环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

4.微分环节

微分环节的传递函数为

频率特性为

1）微分环节的Nyquist图

由频率特性求得其幅频特性和相频特性分别为

由式（4-19）、式（4-20）看出，当ω由0→∞，微分环节的幅频特性由0变到无穷大，其相频特性是常量90°。微分环节的Nyquist图如图4-11所示。

图4-11　微分环节的Nyquist图

2）微分环节的Bode图

微分环节的对数幅频特性为

由式（4-21）可见，当ω=1时，L（ω）=0，且频率ω每增加10倍，对数幅频特性就上升20dB，故微分环节的对数幅频特性曲线是一条穿过横轴上点ω=1，斜率为20dB/dec的直线。

由式（4-20）可知，微分环节的对数相频特性为φ（ω）=90°，故微分环节的对数相频特性曲线是一条平行于横轴，纵坐标为90°的直线。(www.xing528.com)

微分环节的Bode图如图4-12所示。

图4-12　微分环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

对比一下积分环节和微分环节的Bode图，可以看出：微分环节的对数幅频特性曲线与积分环节的对数幅频特性曲线关于0 dB线对称，微分环节的对数相频特性曲线与积分环节的对数相频特性曲线关于0°线对称。之所以有这样的特性，其原因就是微分环节和积分环节的传递函数互为倒数。

5.振荡环节

振荡环节的传递函数为

频率特性为

1）振荡环节的Nyquist图

由频率特性求得其幅频特性和相频特性分别为

振荡环节的幅频特性和相频特性同时是角频率ω及阻尼比ξ的二元函数，ξ越小，幅频特性曲线的值越大，当ξ小到一定程度时，幅频特性曲线将会出现峰值Mr，即发生谐振，谐振峰值对应的频率称为谐振频率，记作ωr，即

A（ω）出现峰值相当于其分母取得极小值，设令f′（u）=4u3-4u+8ξ2u=0，可得

即

进一步来看振荡环节的Nyquist图的绘制。由式（4-23）、（4-24）可得ω=0时，A（ω）=1，φ（ω）=0°；ω=ωn时，A（ω）=1/2ξ，φ（ω）=-90°；ω=∞时，A（ω）=0，φ（ω）=-180°。

由此可知，振荡环节的Nyquist图始于点（1，j0），终于点（0，j0），曲线和虚轴交点的频率就是无阻尼固有频率，此时的幅值是1/2ξ。曲线在第三、四象限，ξ取值不同，Nyquist图的形状也不同，如图4-13所示。

图4-13　振荡环节的Nyquist图

2）振荡环节的Bode图

由式（4-23）得振荡环节的对数幅频特性为

当ω≪ωn时，L（ω）≈0 dB，这说明在低频段幅频特性是与横轴重合的直线；当ω≫ωn时，L（ω）≈-40lg Tω=-40lg T-40lg ω，这说明在高频段幅频特性渐近线是一条斜率为-40 dB/dec的直线。

上述两条渐近线在ω=1/T处相交（此频率称为转折频率，也等于固有频率ωn），从而构成振荡环节的渐近幅频特性，如图4-14所示。

图4-14　振荡环节的渐近幅频特性

振荡环节的精确幅频特性与渐近幅频特性之间的误差为

由以上各式可看出，振荡环节的精确幅频特性与渐近幅频特性之间的误差是角频率ω及阻尼比ξ的二元函数。因此，振荡环节的渐近幅频特性的修正曲线也因ξ的不同而有多条，如图4-15所示。

图4-15　振荡环节的渐近幅频特性的修正曲线

基于渐近幅频特性，经修正取得的振荡环节的精确幅频特性如图4-16（a）所示。

由式（4-24）可知，振荡环节的相频特性图由两段反正切函数曲线组成，两段曲线在转折频率ωn=1/T处相交，此时φ（ω）=-90°。振荡环节的对数相频特性如图4-16（b）所示。

图4-16　振荡环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

6.延迟环节

延迟环节的传递函数为

频率特性为

1）延迟环节的Nyquist图

由频率特性求得其幅频特性和相频特性分别为

所以，延迟环节的Nyquist图是一单位圆。其幅值恒为1，而相位φ（ω）则随ω顺时针方向的变化成正比变化，即端点在单位圆上无限循环，如图4-17所示。

图4-17　延迟环节的Nyquist图

2）延迟环节的Bode图

由式（4-31）得，延迟环节的对数幅频特性为

即对数幅频特性为0 dB线。

相频特性为φ（ω）=-τω，说明φ（ω）随着ω的增加而线性减小，在线性坐标中，φ（ω）应是一条直线，但对数相频特性是一曲线。延迟环节的Bode图如图4-18所示。

图4-18　延迟环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

7.一阶微分环节

一阶微分环节的传递函数为

其频率特性为

（1）一阶微分环节的Nyquist图

一阶微分环节的幅频特性为

相频特性为

当频率ω从0→∞时，G（jω）的实部始终为1，虚部则随着ω线性增长。所以，一阶微分环节的Nyquist图是一条平行于虚轴的直线，如图4-19所示，图中的箭头方向代表ω从0→∞的方向。

图4-19　一阶微分环节的Nyquist图

（2）一阶微分环节的Bode图

一阶微分环节的对数幅频特性为

由式（4-35）可知，一阶微分环节的对数相频特性图为反正切函数曲线。一阶微分环节的Bode图如图4-20所示。

由于一阶微分环节的传递函数与惯性环节的传递函数互为倒数，所以一阶微分环节的对数幅频特性曲线与惯性环节的对数幅频特性曲线关于0 dB线对称；一阶微分环节的对数相频特性曲线与惯性环节的对数相频特性曲线关于0°线对称。此规律也可从图4-8和图4-20获得。

图4-20　一阶微分环节的Bode图

（a）幅频特性图；（b）相频特性图

8.二阶微分环节

二阶微分环节的传递函数为

其频率特性为

它的Nyquist图如图4-21所示。由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，它们的对数幅频特性图关于0dB线对称，对数相频特性图关于0°线对称。

图4-21　二阶微分环节的Nyquist图