输入信号对稳态误差和系统结构的影响

当只有输入作用时，一般控制系统的方框图如图3-28所示，其开环传递函数G（s）H（s）可写成典型环节串联相乘的形式

式中K为开环增益（注意上式中各括号内的常数项都为1），ν为开环传递函数中包含积分环节的数目。根据ν来区分系统的型别，ν=0的系统称为0型系统，ν=1的系统称为Ⅰ型系统，ν=2的系统称为Ⅱ型系统，依次类推。

稳态误差与系统的型别有关，下面分析位置、速度和加速度三种信号输入时系统的稳态误差。为了便于说明，下面以H（s）=1的情况进行讨论。

（1）输入位置信号（阶跃函数）时，Xi（s）=r0/s，r0表示位置信号的幅值，是常数。稳态误差为

当H（s）=1时

（2）输入速度信号（斜坡函数）时，xi（t）=v0t·1（t），Xi（s）=v0/s2，其中常数v0表示输入信号速度的大小。系统的稳态误差为

（3）输入等加速度信号（抛物线函数）时，xi（t）=a0t2/2，常数a0是加速度的大小，则Xi（s）=a0/s3，系统的稳态误差为

由上边分析看出，同样一种输入信号，对于结构不同的系统产生的稳态误差不同，系统型别越高，误差越小，即跟踪输入信号的无差能力越强。所以系统的型别反映了系统无差的度量，故又称无差度。0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统又分别称为0阶无差、一阶无差和二阶无差系统。因此，型别是从系统本身结构的特征上，反映了系统跟踪输入信号的稳态精度。另一方面，型别相同的系统输入不同信号引起的误差不同，即同一个系统对不同信号的跟踪能力不同，从另一个角度反映了系统消除误差的能力。

将三种典型输入下的稳态误差与系统型别之间有规律的关系，综合在表3-3中，可由此根据具体控制信号的形式，从精度要求方面正确选择系统型别。

表3-3　单位反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差

(www.xing528.com)

从表中可清楚看出，在主对角线上，稳态误差是有限的；在对角线以上，稳态误差为无穷大；在对角线以下，稳态误差为0。

增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益，是消除和减小系统稳态误差的途径。但ν和K值的增大，都会造成系统的稳定性变坏，设计者的任务正在于合理地解决这些相互制约的矛盾，选取合理的参数。

应当指出，上述信号中的位置、速度和加速度是广义的，比如：在温度控制系统中，“位置”表示温度信号，“速度”则表示温度的变化率。

【例3-10】引入比例加微分控制系统的方框图如图3-30所示，若输入信号

试求系统的稳态误差。

图3-30　系统方框图

解　系统特征方程为

首先特征方程各项系数必须全部大于0，列Routh表

当各项系数都大于0，且τ＞Tm时，系统稳定，即可求系统的稳态误差。

该系统的开环传递函数中含有两个积分环节，是Ⅱ型系统，开环增益为K1Km，因此当输入xi（t）=1（t）时，ess1=0；当输入xi（t）=t时，ess2=0；当输入xi（t）=t2/2时，ess3=1/K=1/K1Km。

所以，系统的稳态误差为

最后说明几点，第一，系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义。第二，式（3-74）及表3-3中的K值是系统开环增益，即在开环传递函数中，各环节中的常数项必须化成1的形式。第三，表3-3显示的规律是在单位反馈情况下建立的，在非单位反馈情况下，如果H（s）的分子和分母中均不含有s=0的因子，其稳态误差与表3-3的结果相差一个常数倍；如果H（s）中含有s=0的因子，其稳态误差应当用式（3-73）计算。第四，上述结论只适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下的稳态误差。