Routh稳定判据的应用与分析

1877年由英国数学家E.J.Routh（劳斯）提出的判断系统稳定性的代数判据，称为Routh稳定判据，简称Routh判据。其根据是：要使系统稳定，必须满足系统特征方程式的根全部具有负实部。但该判据并不直接对特征方程式求解，而是利用特征方程式（即高次代数方程）根与系数的代数关系，由特征方程中已知的系数，间接判别出方程的根是否具有负实部，从而判定系统是否稳定，因此又称作稳定性判别的代数判据。

下面介绍如何应用代数判据分析系统的稳定性问题，关于代数判据的数学推导过程从略。

1）列出系统特征方程

其中an＞0，各项系数均为实数。检查各项系数是否都大于0，若大于0，则可进行第二步。

根据代数理论中韦达定理所指出的方程根与系数的关系可知，为了使特征方程式的根具有负实部，其必要条件是：式（3-60）的各项系数均为正值，即ai＞0（i=0，1，2，…，n）。该条件的含义是：其一，各项系数的符号相同；其二，各项系数均不等于0。若特征方程不满足上述必要条件，系统一定不稳定。对于这些系统，无论怎样调整参数（例如增益K），也无法稳定，称为结构不稳定系统；特征方程满足上述条件，也不能确定系统就是稳定的，还需要列写劳斯表（Routh表），观察Routh表第一列的数值符号。

2）列写Routh表

根据系统的特征方程式列写Routh表

表中

直至其余b均为0。

计算上述各数的公式是有规律的，自sn-2行以下，每行的数都可由该行上边两行的数算得，等号右边的二阶行列式中，第一列都是上两行中第一列的两个数，第二列是被算数右上方的两个数，等号右边的分母是上一行中左起第一个数。

3）考察Routh表中第一列各数符号

若第一列各数均为正数，则闭环系统特征方程所有根具有负实部，控制系统稳定。如果第一列中有负数，则控制系统不稳定，且第一列中数值符号的改变次数等于系统特征方程含有正实部根的数目。

在具体计算中为了方便，常常把Routh表中某一行的数都乘（或除）以一个正数，而不会影响第一列数值的符号，即不影响稳定性的判别。表中空缺的项，运算时以0代入。

【例3-4】系统特征方程为s5+6s4+14s3+17s2+10s+2=0，试用Routh判据确定系统是否稳定。

解　（1）由系统特征方程可知，所有系数均为正实数。

（2）列出Routh表（下边列出两个表，左边的表为了和原Routh表的形式对照，右边一个表是为了数值计算方便，二者对判断系统稳定性的作用是一样的）。

（3）由上面计算可知Routh表中第一列数值全部为正实数，所以系统是稳定的。

【例3-5】已知系统特征方程为s5+2s4+s3+3s2+4s+5=0，试用Routh判据判别系统的稳定性。

解　（1）由系统特征方程可知，所有系数均为正实数。

（2）列出Routh表(www.xing528.com)

（3）观察第一列数值符号的变化，数值在2→-1→9处符号发生了两次改变，所以系统不稳定，特征方程有两个正实部根。

如果Routh表某一行第一列元素为0，且该行其余元素不全为0，在这种情况下，计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以致Routh表的计算无法进行，这时可用一个很小的正数ε来代替这个0，从而可以使Routh表继续算下去。

【例3-6】设系统特征方程为s4+3s3+s2+3s+1=0，试利用Routh判据判别系统的稳定性。

解　（1）特征方程的各项系数均大于0，满足系统稳定的必要条件。

（2）列出Routh表

（3）因为ε很小而且0＜ε＜1，则3-3/ε＜0，所以表中第一列变号两次，故系统有两个正实部根，是不稳定的。

在应用Routh判据时，可能会出现Routh表中某一行全为0的情况。这是由于特征方程存在：一对或几对关于原点对称的实根；一对或几对共轭虚根；一对或几对共轭复根。为了继续计算，可以用全零行上面一行的元素构成一个辅助多项式P（s），取此辅助多项式的一阶导数所得到的一组系数来代替全零行，然后继续计算Routh表中的其余各个元素，最后再按照前述方法进行判断。

【例3-7】设系统特征方程为s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0，试利用Routh判据判别系统的稳定性。

解　（1）特征方程的各项系数均大于0，满足系统稳定的必要条件。

（2）列出Routh表

（3）由上述Routh表可以看出，第一列中元素的符号全为正号，说明系统特征方程没有正实部的根，即在[s]平面的右半平面没有闭环极点。但是，由于s3行的元素全为0，则说明存在两个大小相等符号相反的实根和（或）两个共轭虚根，可由辅助多项式构成的辅助方程P（s）=0来求得，即

解上述辅助方程，可求得两对共轭虚根

系统存在共轭虚根，表明系统处于临界稳定状态。

如果特征方程在虚轴上仅有单根，则系统响应是持续的正弦振荡，此时系统为临界稳定状态，如例3-7。如果虚根是重根，则系统响应是不稳定的，且具有tsin（ωt+φ）的形式，而Routh判据不能发现这种形式的不稳定。

【例3-8】设系统特征方程为s5+s4+2s3+2s2+s+1=0，试利用Routh判据判别系统的稳定性。

解　（1）特征方程的各项系数均大于0，满足系统稳定的必要条件。

（2）引出Routh表

（3）由上述Routh表可以看出，首列无符号变化，故系统除有两对相同共轭虚根±j外，无其他不稳定极点，容易错误判断系统处于临界稳定状态。

对于特征方程阶次较低（如n＜4）的系统来说，利用Routh判据可将稳定条件写成下列简单的形式。