一阶系统的单位阶跃响应解析

系统在单位阶跃信号作用下的输出称为单位阶跃响应。单位阶跃信号xi（t）=1（t）的拉氏变换为，则一阶惯性环节在单位阶跃信号作用下，输出的拉氏变换为

将上式进行拉氏反变换，得出一阶惯性环节的单位阶跃响应为

根据式（3-22）可知，响应的稳态分量仅由输入信号决定，与传递函数极点无关；暂态分量仅由传递函数的极点决定，与输入信号无关。总之，传递函数的极点，或者说极点在平面的位置不仅决定了系统响应的快慢，而且决定了响应的形式。这一结论对任何系统都是正确的。

根据式（3-23），当t取T的不同倍数时，可得出一阶惯性环节的单位阶跃响应，如表3-1所示。

表3-1　一阶惯性环节的单位阶跃响应

一阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的响应曲线如图3-4所示，它是一条单调上升的指数曲线，并且随着自变量的增大，其值趋近于1。

图3-4　一阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的响应曲线

从式（3-23）和图3-4中可以得出：

（1）一阶惯性环节是稳定的，无振荡。

（2）当t=T时，xo（t）=0.632，即经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过来，如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632高度点时所用的时间，则该时间就是一阶惯性环节的时间常数T。

（3）经过时间3T～4T，响应曲线已达到稳态值的95%～98%，在工程上可以认为其瞬态响应过程基本结束，系统进入稳态过程。由此可见，时间常数T反映了一阶惯性环节的固有特性，其值越小，系统惯性越小，响应速度越快。

（4）因为

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所以，在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。

（5）将式（3-24）改写为

两边取对数，得

由式（3-26）可知，lg[1-xo（t）]与时间t为线性比例关系，以时间t为横坐标，lg[1-xo（t）]为纵坐标，则可以得到如图3-5所示的一条经过原点的直线即为一阶惯性环节识别曲线。

因此，可以得出如下的一阶惯性环节的识别方法：通过实验得出某系统的单位阶跃响应xo（t），将值lg[1-xo（t）]标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线，则可以认为该系统为一阶惯性环节。

时间常数T越小，xo（t）上升速度越快，达到稳态所用的时间越短，也就是系统惯性越小，反之，T越大，系统对信号的响应越缓慢，惯性越大，时间常数不同的一阶系统单位阶跃响应曲线如图3-6所示。所以T的大小反映了一阶系统惯性的大小。

图3-5　一阶惯性环节识别曲线

图3-6　时间常数不同的一阶系统单位阶跃响应曲线

下面分析T对系统的影响。

从响应开始到进入稳态所经过的时间叫作调整时间（或过渡过程时间）；理论上讲，系统结束瞬态过程进入稳态，要求t→∞，而工程上，瞬态过程结束与否和系统要求的精度有关。如果系统允许有2%（或5%）的误差，那么当输出值达到稳定值的98%（95%）时，就认为系统瞬态过程结束，由表3-1可得t=4T时，响应值xo（4T）=0.982，t=3T时，xo（3T）=0.95，因此调整时间ts值为

用ts的大小作为评价系统响应快慢的指标。应当指出，调整时间只反映系统的特性，与输入无关。通常希望系统响应速度越快越好，调整构成系统的元件参数，减小T值，可以提高系统的快速性。