深入了解部分分式展开法

在系统分析问题中，F（s）常具有如下的形式

式中，A（s）和B（s）是s的多项式，B（s）的阶次较A（s）阶次要高。

对于这种称为有理真分式的象函数F（s），分母B（s）应首先进行因式分解，换句话说就是必须预先知道分母B（s）的根，才能用部分分式展开法。最后得到F（s）的拉氏反变换函数。即，把分母B（s）进行因式分解，写成

式中，-p1，-p2，…，-pn是特征方程B（s）的根，也称为F（s）的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定是共轭复数。

当A（s）的阶次高于B（s）时，则应首先用分母B（s）去除分子A（s），由此得到一个s的多项式，再加上一项具有分式形式的余项，其分子s多项式的阶次就低于分母s多项式的阶次了。

1.分母B（s）无重根

在分母B（s）无重根的情况下，F（s）总可以展成简单的部分分式之和。即

式中，αk（k=1，2，…，n）是常数，系数αk称为极点s=-pk处的留数。αk的值可以用在等式两边乘以（s+pk），并把s=-pk代入的方法求出。即

因为f（t）是时间的实函数，如p1和p2是共轭复数时，则留数α1和α2也必然是共轭复数。这种情况下，式（2-78）照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数α1（或α2）即可。

【例2-8】求F（s）的拉氏反变换，已知

由式（2-78），得

查拉氏变换表，得f（t）=2e-t-e-2t。

【例2-9】求L-1[F（s）]，已知

解　分母多项式可以因式分解为s2+2s+5=（s+1+j2）（s+1-j2）。

进行因式分解后，可对F（s）展成部分分式(www.xing528.com)

由式（2-78），得

由于α2与α1共轭，因此

查拉氏变换表，得

2.分母B（s）有重根

若分母B（s）有三重根，并为pi，则F（s）一般的表达式为

式中，系数α2，α3，…，αn仍按照上述无重根的方法[即式（2-78）]来求算，而重根的系数α11，α12，α13可按以下方法求得

依此类推，当pi为k重根时，其系数为

查拉氏变换表，有f（t）=t2e-t+0+e-t=（t2+1）e-t。

通过本节讨论的拉氏反变换，可以求得线性定常微分方程的全解（补解和特解）。微分方程的求解，可以采用数学分析的方法，也可以采用拉氏变换法。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，在许多情况下应用更为方便。

由上例可见，用拉氏变换解微分方程的步骤是：

（1）对给定的微分方程等式两端取拉氏变换，变微分方程为s变量的代数方程；

（2）对以s为变量的代数方程加以整理，得到变量s的拉氏变换表达式；

（3）对这个变量求拉氏反变换，即得在时域中（以时间t为参变量）微分方程的解。