拉普拉斯变换的定理解析

1.线性定理

若α，β是任意两个复常数，且L[f（t）]=F（s）（即f（t）的拉氏变换存在），则

证　

线性定理表明，时间函数之和的拉氏变换等于每个时间函数的拉氏变换之和，若有常数乘以时间函数，则经拉氏变换后，常数可以提到拉氏变换符号外面。

2.平移定理

若L[f（t）]=F（s），则

证　

定理说明，在时域中f（t）乘以e-at的效果，相当于在复变量域中把s平移为s+a。

3.延迟定理

设f（t）的拉普拉斯变换为F（s），对任一正实数T有

式中，f（t-T）为函数f（t）的延时函数，延时时间为T。

证　设（t-T）=τ，则

4.微分定理

若L[f（t）]=F（s），则

式中，f（0）为函数f（t）在t=0时刻的值，即为f（t）的初始值。

证　由拉氏变换定义，有

利用分部积分公式，有

同理，二阶导数的拉氏变换为

n阶导数的拉氏变换为(www.xing528.com)

式中，f（0），f（0），f（2）（0），…，f（n-1）（0）分别为各阶导数在t=0时的值。由式（2-63）可知，在零导数的拉氏变换中，已计入了各个初始条件。如果这些初始值均为0，则有

5.积分定理

若L[f（t）]=F（s），则

式中，时刻的值。

证　由拉氏变换的定义，有利用分部积分法，取u=因此

同理可得

利用积分定理，可以求时间函数的拉氏变换，利用微分、积分定理可将微分-积分方程变为代数方程。

6.终值定理

若L[f（t）]=F（s），则终值定理表示为

证　由式（2-59）

令s→0，有

终值定理用来确定系统或元件的稳态度，即在t→+∞时，f（t）稳定在一定的数值。这在时间响应中求算稳态值时常常用到。但是，如果在t→+∞时，极限不存在，则终值定理不能应用。如f（t）分别包含有振荡时间函数（例如sin ωt）或指数增长的时间函数时，终值定理就不能应用。

7.初值定理

若L[f（t）]=F（s），则初值定理表示为

初值定理只有f（0）存在时才能应用，它用来确定系统或元件的初始值。

8.卷积定理

卷积定理表明两个时间函数f1（t），f2（t）卷积的拉氏变换等于两个时间函数的拉氏变换的乘积。这个关系式在拉氏反变换中可以简化计算。证明从略。

需要注意的是关于拉氏积分的下限，此处用的数值符号是0，在计算及公式中没有出现0-及0+数值符号。如果拉氏积分中的时间函数在t=0处包含脉冲函数，或者时间函数在t=0-及t=0+处不连续时，有时为了加以区别，在计算及公式中就会出现0-及0+的数值符号。