电气系统微分方程优化方法

电气系统是机械控制系统的重要组成部分。在电气系统中，通过电阻R、电感L、电容C三种线性无源元件的组合，可以构成各种复杂的电网络系统。电感是一种储存磁能的元件，电容是储存电能的元件；电阻不储存能量，是一种耗能元件，将电能转换成热能耗散掉。

电气系统所遵循的基本定律是基尔霍夫电流定律和电压定律。基尔霍夫电流定律表明，流入节点的电流之和等于流出同一节点的电流之和；而基尔霍夫电压定律表明，在任意瞬间，在电路中沿任意环路的电压的代数和等于0。通过应用一种或同时应用两种基尔霍夫定律，就可以得到电路系统的数学模型。

【例2-4】如图2-5所示的无源电路系统中，ui（t）为输入电压，uo（t）为输出电压，试建立其微分方程。

图2-5　无源电路系统

解　根据欧姆定律和基尔霍夫定律，有

由式（2-12）得

由式（2-14）得

将式（2-13）、式（2-15）和式（2-16）代入式（2-11），得

即

【例2-5】如图2-6所示的有源电路系统中，ui（t）为输入电压，uo（t）为输出电压，K0为运算放大器开环放大倍数。试建立其微分方程。

图2-6　有源电路系统

解　设运算放大器的反相输入端为A点。根据运算放大器输入端电压关系v+≈v-，又同相输入端接地，即v+=0，可得

因为一般运算放大器的输入阻抗很高，所以

据此可列出

即(www.xing528.com)

【例2-6】如图2-7所示的电枢控制式直流电动机系统中，ei（t）为电动机电枢输入电压，θo（t）为电动机输出转角，Ra为电枢绕组的电阻，La为电枢绕组的电感，ia（t）为流过电枢绕组的电流，em（t）为电动机感应电势，T（t）为电动机转矩，J为电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量，c为电动机及负载折合到电动机轴上的黏性阻尼系数。试建立其微分方程。

图2-7　电枢控制式直流电动机系统

解　根据基尔霍夫定律，有

根据磁场对载流线圈的作用定律，有

式中，KT为电动机转矩常数。

根据电磁感应定律，有

式中，Ke为反电动势常数。

根据牛顿第二定律，有

将式（2-20）代入式（2-22），得

将式（2-21）、式（2-23）代入式（2-19），得

在工程应用中，由于电枢电感La较小，通常忽略不计，因而系统微分方程可简化为

当电枢电感La和电阻Ra均较小，可以忽略时，系统微分方程可进一步简化为

从以上例子可以看出，线性系统的微分方程具有类似的形式。更一般化地，设线性定常系统的输入量为xi（t），输出量为xo（t），则描述系统输入量、输出量动态关系的微分方程为