机械系统的微分方程分析

在机械系统中，某些部件具有较大的惯性和刚度，而另一些部件则惯性较小、柔性较大。在使用集中参数法时，可将前一类部件的弹性忽略，将其视为质量；而把后一类部件的惯性忽略，将其视为无质量的弹簧。这样对机械系统而言，只要通过一定的简化，大多可抽象为质量-弹簧-阻尼系统及其综合。

在抽象为质量-弹簧-阻尼系统的机械系统中，牛顿第二定律是机械系统所必须遵循的基本定律，通过牛顿第二定律将机械系统中的运动（位移、速度和加速度）与力联系起来，建立机械系统的动力学方程，即机械系统微分方程。

下面举例说明机械系统微分方程的列写方法。

【例2-1】弹簧-质量-阻尼系统如图2-2所示。设系统的输入量为外力x，输出量为质量的位移y，试写出系统的微分方程。

图2-2　弹簧-质量-阻尼系统

解　在这个系统中，m表示质量，c表示黏性阻尼系数，k表示弹簧刚度。对于线性系统而言，弹簧力方向与运动方向相反，大小与位移成比例；阻尼力方向与运动方向相反，大小与运动速度成比例。

根据牛顿第二定律，可得

或

式（2-3）即为描述该机械系统输入量、输出量动态关系的微分方程。

【例2-2】图2-3所示为由两个质量和弹簧串联而成的二自由度振动系统，输入量为外力f（t），m1的位移为y1（t），m2的位移为y2（t）。试列写以f（t）为输入量，y1（t）为输出量时系统的微分方程。

图2-3　二自由度振动系统

解　当m2与k2不存在时，图2-3所示系统为单自由度系统，其输入量与输出量之间的动力学方程为

当m2与k2连接到m1与k1上时，便对m1和k1产生了负载效应，此时，系统变成二自由度系统，其动力学方程为(www.xing528.com)

从以上两式中消去y2（t），则得到以f（t）为输入量，y1（t）为输出量的系统动力学方程为

显然，由式（2-6）求解出y1（t）与式（2-4）求解出y1（t）的结果不同。

例2-2说明，对于两个物理元件组成的系统，若其中一个元件的存在，使另一个元件在相同输入下的输出受到影响，相当于前者对后者施加了负载，这一影响称为负载效应，或称耦合。对于这样的系统，在列写它们各自的动力学方程时，必须考虑元件间的负载效应，才能求得整个系统正确的动力学方程。

【例2-3】图2-4所示的齿轮传动系统，Mi（t）是输入转矩，M是输出轴上所带负载的阻转矩，J1、c1、J2、c2分别为主动轴和从动轴的转动惯量和黏性阻尼系数，减速器的传动比为i。如果以Mi（t）为输入量，以θ1（t）为输出量，试列写出系统的运动方程。

图2-4　齿轮传动系统

解　M1（t）为从动轴作用于主动轴上的转矩，M2（t）为主动轴作用于从动轴上的转矩，对于主动轴和从动轴，分别根据转矩平衡方程列写系统方程

齿轮传动系功率平衡方程为

传动比

将式（2-8）、式（2-9）及式（2-10）代入式（2-7），消去中间变量M1（t）、M2（t）、θ2（t），得

如果齿轮系传动比足够大，则后级齿轮及负载的影响便可不予考虑。这时微分方程可简化为线性方程