复杂交流电路的分析技巧

2.4　复杂交流电路分析

2.4.1　电阻、电感、电容串联正弦交流电路

串联电路是组成实际电路的基本方法之一，其特点是各部分元件中通过同一个电流。下面研究如图2-13所示的RLC串联电路。

1.电压与电流的关系在图2-13（a）所示的RLC串联电路中，先假设各量参考方向如图所示。为了方便，取电流i为参考正弦量（即设i的初相位为零），设

i=I_msinωt

根据KVL定律，则

u=u_R+u_L+u_C

将图2-13（a）中各正弦量用对应的相量表示于图2-13（b）中，则

把各元件用复数表示的伏安特性方程代入式（2-30）得

式中，X——电路的等效电抗，简称电抗，且X=X_L-X_C；

Z——复阻抗，Z=R+j（X_L-X_C）。

根据单一元件电压、电流的相位关系，在确定了电流i的相位后，就可画出、、及，如图2-14所示（假设UL＞UC）。

2.电压之间的关系如图2-14所示，电压相量、和组成一个直角三角形，称为电压三角形。由图示的几何关系可得

且U_R=Ucosφ，U_X=Usinφ，如图2-15所示。

3.阻抗关系阻抗Z为

可见，就其大小而言，｜Z｜、R和X也组成一个直角三角形，并与电压三角形相似，如图2-15所示，可得

且R=｜Z｜cosφ，X=｜Z｜sinφ。

4.功率关系式（2-31）两边同时乘以I，则得

式中，P——P=IU_R，电阻消耗的有功功率，W；

Q_L——Q_L=IU_L，电感吸取的无功功率，var；

Q_C——Q_C=IU_C，电容吸取的无功功率，var；

Q——Q=Q_L+Q_C，电路吸取的总无功功率，var；

S——电路总电压与总电流有效值的乘积，称其为视在功率，单位为伏安（VA）或千伏安（kVA）。

由式（2-33）可知，S、P和Q的关系也可用直角三角形表示，称为功率三角形。而且与电压三角形和阻抗三角形均相似，见图2-15。因此有

P=Scosφ

Q=Ssinφ

需要说明的是，φ角既是阻抗Z的辐角（或称阻抗角），又是电路中电压u与电流i的相位差角，同时还称其为功率因数角。按惯例规定：功率因数角φ等于电路中电压的初相位ψ_u减去电流的初相位ψ_i，即

φ=ψ_u-ψ_i

在RLC串联电路中，当X_L＞X_C时，电抗X=（X_L-X_C）＞0，表明电抗是感性的，称电路为感性电路，此时电流滞后于端电压；当X_L＜X_C时，电抗X＜0，表明电抗是容性的，称电路为容性电路，此时电流超前于端电压。

实用中，视在功率S表示交流电气设备的容量，并不是有功功率。而有功功率P必须在视在功率的基础上再乘一个因数cosφ。因此，电路中电压电流相位差的余弦cosφ称为电路的功率因数。

【例2-9】在RLC串联电路中，已知R=30Ω，电感L=382MH，电容C=40MF，把电路接到电压为220V、频率f=50Hz的电源上。试求：

（1）电路中电流及各元件端电压；

（2）电路的功率因数角及功率因数；

（3）电路中有功功率P、无功功率Q及视在功率S。

解：（1）由于X_L=2πfL=2π×50×382×10^-3=120Ω

所以

因此

各元件的电压

U_R=IR=4.4×30=132V

U_L=IX_L=4.4×120=528V

U_C=IX_C=4.4×80=352V

（2）由阻抗三角形知功率因数角

功率因数为cosφ=cos53.13°=0.6

（3）电路中有功功率

P=I²R=U_RI=132×4.4=580.8W

或

P=UIcosφ=220×4.4×0.6=580.8W

无功功率

Q=I²X=UIsinφ=220×4.4×0.8=774.4var

视在功率

S=UI=220×4.4=968VA

2.4.2　并联电路

并联电路是交流电路的另一种基本形式，额定电压相同的负载经常采用并联。其中具有实用意义的是RL串联电路与电容C的并联，如图2-16所示，以此为例说明并联交流电路的分析和计算方法。

1.电压与电流的关系首先取各支路电压与电流的参考方向一致（关联参考方向），如图2-16（a）所示。根据基尔霍夫电流定律，得

i=i_L+i_C

其相量形式为

式（2-34）说明了与和之间是相量关系。RL支路和电容C支路的阻抗分别为(www.xing528.com)

Z₁=R+jX_L；Z₂=-jX_C

由于两条并联支路具有同一个电压，因此通常取电压为参考相量。即设=U∠0°，则总电流为

当知道了电路中的各参数和电源电压时，用复数法很容易计算出各支路电流和总电流。

2.并联电容对提高电路功率因数的作用实际中，大多数负载都是感性的，其等效参数形式为RL串联电路。在感性负载没并联电容C之前，功率因数

在X_L较大时，功率因数较低。

并联适当的电容后，其等效电路形式如图2-16所示。根据电路中的电压电流相位关系，可定性画出电路的相量图，如图2-16（c）所示。相量图中以为参考相量，画出后，就可画出滞后于一个φ1角[（φ1=arctan（XL/R）]、超前于90°。用相量法即可求出电流，如图2-16（c）所示。

从相量图中可以看到，没接电容之前电路的功率因数角φ₁较大，功率因数较低。接入电容后，电路的功率因数角φ较小，功率因数较大，比没接电容前功率因数提高了。

把电流分解为两个分量，一个是与电压同相位的电流分量，另一个是滞后于电压

90°的电流分量。由于有功功率P=UI1cosφ1=UIR，即U乘以与其同相位的IR分量为RL串联电路的有功功率，故称为有功分量电流。同理，U乘以滞后其90°相位的IX分量为RL电路的无功功率，故称为无功分量电流。

并电容后，电路的总有功功率为

P=UIcosφ₁=UI_R

可见，并联电容后电路消耗的有功功率不变。

对于电路的总电流，由于电容电流与无功分量电流反相，抵消了一部分无功电流。因此电路中的总电流

由于总的无功分量电流的减少，总电流也减少了，如图2-16（c）所示。

当电容电流IC＜无功分量电流IX时，仍滞后于，整个电路仍是感性的，电路的功率因数从cosφ₁提高到cosφ。若IC=IX，则φ=0，cosφ=1，与同相，整个电路等效为一个电阻。若IC＞IX，将超前于，电路为容性。因此，选适当电容，就可把电路的功率因数提高到所需要的数值。

3.提高功率因数的意义由上面的分析可见，当感性负载并联电容后，线路中的总电流将减少，功率因数将提高，而有功功率保持不变。

（1）提高功率因数可充分利用发、配电设备的容量：每台发、配电设备的额定容量S_N=U_NI_N都是一定的，当电压、电流都为额定值时，它输出的有功功率P=U_NI_Ncosφ，其大小取决于cosφ，cosφ越高，P越大，设备容量利用率越高。

（2）减少供电线路及电源内部的功率损耗：在输送的功率P及电压一定时，cosφ越高，线路电流越小。因此，线路及电源内部的损耗也越小，且线路中的电压降也越小。

本章小结

1.随时间按正弦规律周期性变化的电压、电流统称为正弦量，或称为正弦交流电。最大值、角频率和初相位是确定一个正弦量的三要素。最大值反映的是正弦量的变化范围；角频率反映正弦量变化的快慢；初相位反映正弦量在计时起点的状态。

两个同频率的正弦量的初相位之差称为相位差，相位差是不随时间计时起点而变化的。

在热效应方面与交流电等效的直流值称为交流电的有效值。正弦量的有效值与最大值的关系是

在学习交流电路时会遇到同一电量的不同符号，它们代表不同的意义。通常小写字母（u、i）代表瞬时值，大写字母（U、I）代表有效值，带下标的大写字母（U_m、I_m）代表最大值。

2.正弦量可用三角函数式、波形图和相量3种方法来表示。相量表示法的使用是为了方便地对正弦量进行数学运算。

3.单一参数电路元件的交流电路是理想化的电路。电阻是耗能元件，电阻电路的端电压与电流成正比，电压电流同相位；电感和电容是储能元件，电感电路的端电压与电流的变化率成正比，电压超前于电流90°；电容电路的电流与电容端电压的变化率成正比，电流超前于电压90°。

单一参数电路欧姆定律的相量形式为

它们反映了电压与电流的量值和相位关系，其中感抗XL=ωL，容抗XC=。4.RLC串联电路是具有一定代表性的电路，其欧姆定律的相量形式为

式中Z为复阻抗，它决定了电路中电压与电流的大小和相位关系，其值为

Z=R+jX=R+j（X_L-X_C）

以上关系可用3个相似三角形帮助记忆和分析。

有功功率P即平均功率，表示电路消耗的功率，单位是W（瓦）；无功功率Q表示电路中功率交换的最大值，单位是var（乏）；视在功率S表示电压与电流的乘积，单位是VA（伏安）。

5.正弦电路中基尔霍夫定律的相量形式为

6.实际交流电路中的负载都是电感性的，电路的功率因数一般不高，使电源设备得不到充分利用，并增加了电路损耗和线路压降。为此，常采用并联电容器的方法来提高线路的功率因数，其基本原理是用电容的无功功率对电感的无功功率进行补偿。

练习题

1.有一个交直流通用的电容器，其直流耐压为250V，若把它接到交流电压220V的正弦电源上使用，试问是否安全?

2.已知复数。试写出它们的指数形式并在复平面上用矢量表示之。

3.已知i=10sin（ω-30°）A，，试分别写出幅值相量、和有效值相量、。

4.已知两个同频率正弦电压，，且u=u1+u₂，试用相量表示法求电压u，并画出相量图。

5.在正弦交流电路，基尔霍夫电流定律能写成∑I=0吗?式中的I为电流有效值。

6.在图2-17所示正弦交流电路中，电流表A₁的读数为3A，电流表A₂的读数为4A，有人断定电流表A的读数为7A，你说对吗?

7.已知一交流电流i=14.14sin（314t+60°）A。试指出它的最大值I_m、有效值I、角频率ω、频率f、周期T及初相位ψ并分别求出t=0、T/6、T/2时的瞬时值；画出其波形图。

8.已知，试求：

（1）i1与i2的相位差；

（2）i=i₁+i₂.

9.已知一电源电压。试写出相量、的表达式并画出相量图。

10.RL串联的正弦交流电路，已如R=3Ω，X_L=4Ω，试写出复阻抗Z，并求电压电流相位差φ及功率因数cosφ。

11.正弦交流电路，已知=20_e^j30°V,Z=（4+j3）Ω，求电流相量及P、Q、S。

12.正弦交流电路，已知=10_e^j15°V，=（10+10）＆nbsp；A，求R、X、cosφ及P、Q。

13.如图2-18所示为频率f=50Hz的正弦电压与正弦电流的相量图，已知I₁=10A,I₂=5A,U=220V（其初相位为0）。试分别写出它们的三角函数式和相量表达式。

14.一纯电阻R=50Ω，在R上加电压V，若电压与电流为关联参考方向，求电阻上电流的瞬时值表达式，并求电阻消耗的功率。

15.在一个线圈的两端加一电压U=220V、f=50Hz的电源。测得I=10A,P=500W。试求线圈的电阻R和电感L。

16.试求图2-19电路中电流表A₀或电压表V₀的读数。

17.交流接触器的线圈电阻R=22Ω，L=7.3H，把它接到工频220V的电源上。此时线圈的电流为多少?若将其误接到220V的直流电源上，线圈的电流又是多少?会出现什么后果（线圈额定电流为0.1A）?

18.一线圈接于100V的直流电源时，电流为2.5A，将其接到工频220V的电源时，电流为4.4A。求线圈的电感L和电阻R。

19.在RLC串联电路中，已知R=40Ω，X_L=60Ω，X_C=50Ω，I=2.2A，试求U_R、U_L、U_C及电源电压U。

20.在如图2-20所示的电路中，U=220V,U_C=264V,U_R=220V,I=4.4A。试求R、X_L及X_C。