加筋土挡墙承载力问题的解析

B1　最简单的静力容许应力场的下限估计

首先考虑无重的表面水平的加筋挡墙，它的顶部作用有均布荷载p，如图B.1所示。这时静力容许的应力场为一垂直柱体，内部存在单轴应力状态，σy=p。该柱体内的应力状态满足静力平衡方程，且在AB面上满足应力边界条件，在柱体以外的区域没有应力，而柱体两侧，AA′和BB′是应力不连续线。为了满足静力容许应力场的其他要求，假定屈服条件（莫尔-库伦准则）：对于加筋土，大部分土为无黏性土，故屈服条件为

有时，把塑性理论问题转化到坐标系统xyz是方便的，于是屈服条件变为

当土和筋材两者同时发生流动时，可得到下列的屈服条件：

在区域AA′和BB′内满足，将σy=p代入该屈服条件中可以得到下列的解答：

式中：p为实际破坏荷载的下限估计。

图B.1　最简单的无重加筋挡墙静力容许应力场

图B.2　确定加筋挡墙临界高度的静力容许应力场

B2　加筋挡墙承载力的下限估计

这里，考虑另一种静力容许应力场的下限估计值。

加筋挡墙的承载力的下限估计与其临界高度Hl相关。在此，临界高度定义为结构物由于其自重而发生破坏的高度。假定一个静力容许的应力场见图B.2，则临界高度的下限估计Hl将由屈服准则式（B.11）确定，其中σx=τxy=0，它在应力不连续线l上仍然满足。

将σy=rHl代入到上一加筋土屈服准则式（B.11）中，可得：

若H＜Hl则加筋挡墙在自重作用下将不会破坏。

其次，我们寻求作用于无重量加筋挡墙顶部的临界荷载p的上限估计，如图B.3所示。

图B.3　加筋挡墙破坏机理示意

刚性三角形楔块△ABC沿一平面AB滑动时，则破坏就出现了。AB滑面与水平的夹角为β，当外荷作功的速率等于沿滑面的内能耗散速率时，就达到了极限条件，速度v与破坏面的夹角为φ。外力作功速率可表达为

在加筋情况下沿AB面的能量取决于筋材的状态，当筋材变成塑性状态时，能量耗散速率D由式（B.5）给出：

令M=D，即可得到破坏荷载。

当β=45+φ/2时，p达到最小值pmin，即破坏荷载的上限估计。

当b=a时，式（B.7）即与式（B.2）所表达的上限解相等。

这也就是无重量加筋挡墙承载力问题的精确解。

用同样的过程可求得加筋挡墙临界高度上限Hu为

这就意味着结构物的实际高度不可能超过临界高度上限Hu，即H＜Hu。

上述结果可以用来求得临界荷载p的上、下限，若a=b，则：

对黏性填土情况下，类似的上下限估计也可得到。对于一个简单的静力容许应力场以及土无重量情况下，可以得到下列的临界荷载下限估计值：

而临界高度的下限估计（相应于静力容许应力场，如图B.3）为

而相应的上限估计为

式中ψ由式（B.11）定义，而，对于非加筋土，上述的解答就蜕化为岩土工程中所熟知的估计。

其他的估计可以采用更为复杂的应力场和破坏机理而求得。

【例B.1】　已知加筋土挡墙高度H=6m，r=0.18×105N/m3，φ=32°，p=105 N/m2，设土与筋材之间结合良好，试设计加筋土挡墙所需的筋材。

由式（B.9）、式（B.10）可得：第一种情况下，σ0=0.64×105N/m2；第二种情况下，σ0=0.473×105N/m2。第二种情况意味着，全部加筋构件处于塑性状态。故σ0=0.473×105N/m2为要求的部分（partial）强度的最小值。

若要求的安全系数为f=1.4，则设计要求的σ0值为

假定所采用的加筋材料为土工材料，其强度为S0=55kN/m2，则要求的加筋层垂直间距应为ΔH=S0/σ0=55/67=0.82m，取0.8m。

B3　加筋边坡的承载能力

本节重点讨论无重量加筋边坡承载力问题的简单极限平衡解答。

假设破坏面为单一平面和双平面的情况。(www.xing528.com)

B3.1　加筋边坡的临界高度

先研究图B.4所示的最简单的破坏形式的机理。

图B.4　自重下加筋边坡的极限平衡

设图B.4中的三角形楔体OAB处于极限平衡状态。依此，可得下列关系式：

由式（B.15）～式（B.19）可以确定加筋边坡的临界高度。

角α可由下列条件确定：

在此，应满足φ＜α＜β。

式（B.21）可以用分析法或数值法（相对于α）解出。而临界高度可由式（B.15）求得。若加筋墙的β=90°，式（B.20）就转化为熟知的上限解，如加筋挡墙中的式（B.8）。

图B.5表示了破坏面和加筋陡坡归一化（nomalized）的临界高度随β而变化的关系。

图B.5　破坏面倾角和临界高度与β角的关系

（a）破坏面倾角与β关系；（b）归一化临界高度与β关系

B3.2　无重边坡的承载能力

图B.6所示的为确定无重加筋边坡承载力的简图。临界荷载可以由三角楔OAB的极限平衡而确定：

图B.6　无重边坡的极限平衡

其中未知的α由式（B.21）给出，当h≤H时，该解答有效。

B3.3　一般情况（单一破坏面）

对于一般情况，有重加筋土坡的顶部作用有荷载，楔体OAB的极限平衡导致了下列的极限荷载公式：

破坏平面的倾角α由如下条件确定：

由此得到：

B3.4　双破坏平面情况

一般说来，双破坏平面更接近实际的情况，如图B.7所示，图B.7中的α1和α2是未知的。

图B.7　双破坏面机理和破坏楔体的极限平衡

（a）双破坏面机理；（b）破坏楔体的极限平衡

根据楔体ACD的极限平衡条件，有：

同时，根据块体ABC的极限平衡条件，有：

对于极限荷载，则有：

对α1和α2取φ的最小值pmin

对式（B.34）求分析解不容易，故用数值法求其解，然后按式（B.32）求得极限荷载p。注意，只有当h1+h2≤H时，式（B.32）才能成立。当比值a/H较大时，B点将位于结构物的趾足附近，而且α2是α1的函数。

【例B.2】　已知φ=30°，γ=0.17×105N/m3，σ0=0.6×105N/m2，β=80°，a=3m，试计算极限荷载p，α1值和α2值。

下列的几个值应采用数值方法求得：α1=68°，α2=26°，由式（B.32）得到极限荷载为p=1.834×105N/m2，而按某些程序（如“Reslope”）可得p=1.95×105N/m2，此值比按式（B.32）的双平面破坏面大6%，若按单平面破坏面式（B.23）计算，p=1.95×105N/m2，这时对应的α值应为58°，如图B.8所示。

图B.8　不同方法求得的滑动面比较

【例B.3】　已知H=8.2m，β=80°，φ=30°，a=3m，γ=0.17×105N/m3，p=1.67×105N/m2，试用土工材料进行加筋设计。

解：σ0值可按式（B.32）用数值法等进行近似计算，由此得到σ0=0.56×105N/m2，土工材料筋材的间距为ΔH=S/σ0=0.714m。若假定ΔH=0.6m，则由式（B.32）算得的p=2.122×105N/m2，故安全系数为2.122/1.67=1.27。应注意筋材的长度应足够，以防止土工材料筋材从土中滑出。

【注释】

[1]摘自李广信2004年清华大学出版社出版的《高等土力学》。