塑性分析的上、下限定理详解

A1　下限定理

土体稳定分析的基本问题是在满足平衡方程、应力边界条件和不超过屈服条件的应力分析问题。可称这种应力场为“静力相容”或“静力容许”的应力场（statically admissible）。相应于这种“静力相容”应力场的荷载，将不大于实际的极限破坏荷载。因此，它是一个下限估计。

上面指出的所应满足的条件可表达为^[1]以下几种。

静力平衡条件：

其力学边界条件：

式中：wi为作用于单位体积dv上的体积力；Ti为作用于表面上的边界力；nj为表面力作用处法线的方向导数。

变形协调条件：

静力平衡条件也可用虚动原理来表达，即相应于任一协调的位移场增量u有：

式中：u为位移场增量。

可以指出，利用虚功原理求解结构应力、应变和进行稳定分析，是一个重要的简化求解途径。式（A.4）表示，对于一个静力平衡的力系，如果让构成力系的诸多力在一个协调的位移场上做功，其总和为零。

本构关系在满足静力平衡的应力场和协调的应变场之间有：

式中：Cijkl为本构关系的刚度矩阵的张量表达式。

屈服准则：

或用摩尔一库仑准则表达：(www.xing528.com)

式中：σn，τ分别为破坏面上的法向应力和剪应力；c，φ为抗剪强度参数指标。

由于一般岩土材料不能承受拉应力，故还有小主应力大于零的条件：

A2　上限定理

上限定理从构筑一个处于塑性区Ω′内和滑裂面Γ*上的协调的塑性位移场u*ij出发，认定凡是满足静力条件和库角准则中的等式条件下通过功能平衡条件确定的外荷载一定比相应的真实塑性区Ω的真实的极限荷载大（陈祖煜，2005；李广信，2004）。这里所指的静力条件和库仑准则等，已在上面列出。

图A.1　边坡稳定塑性力学上限解

（a）连续介质破坏模式；（b）多楔体破坏模式；（c）分段连续多块体破坏模式

为了便于理解，对上述定理作如下解释：

认定一个处于极限状态的“真实破坏结构”Ω和Γ，以及相应的表面极限荷载T，Ω和Γ内应力场为σi，j。Ω以下的区域为处于弹性状态的区域E，如果假定这种材料为刚塑性体，则E区内各点的位移值为零。

再设另外一个“假设的破坏机构”Ω*和Γ*，它们也处于极限状态，在Ω*和Γ*上每一点产生一个协调的应变场ε*i，j和u*，以及与其对应的σi，j。按虚功原理，对“真实的”滑动机构和“假设的”破坏机构，分别有：

塑性力学的上限定理指出，按式（6.14）计算的T*，一定不小于按式（A.9）计算的T，也就是说，T*为其上限值，T*＞T。

式（A.10）左侧的第一项为滑体内部各点的内能耗散，第二项为沿滑面的内能耗散，故左侧表示了内能的总耗散，而右侧为外力所作的功，当两者相等时，表示达到了极限条件。

应当说明，在讨论上限时，由于弹性变形比塑性变形小得多，所以在应用上限定理通过式（A.4）确定外荷时，还可以将其中的u仅理解为塑性变形。

稳定问题的极限分析就是从下限和上限两个方向逼近真实解。这一求解方法回避了不易弄清的本构关系表达式（A.5），而同样获得了理论上十分严格的计算结果（陈祖煜，李广信）。