心算技巧之乘法和特殊角函数

心算是计算速度最快的一种计算方法。记住下面几个常用数值和心算方法，对提高我们的计算速度将会有所帮助。

（1）应记住的常用数值

1）π=3.1416。

2）=1.4142。

3）=1.7321。

4）特殊角的三角函数

5）0.123——常用拔模角（7°）的斜率，即tan7°≈0.123。

6）≈0.785≈0.80——内切圆面积与正方形面积之比值（），这就是著名的8020定理（法则）的数学来源，它被广泛用于经济学、管理学等领域。

7）0.618——黄金分割数。它是自然界和人们生活中随处可见的，给人美感的数，在美术、摄影和产品外观设计中被广泛使用。

（2）加、减法

1）加法：几个数相加时，中间有互为补数的先加。

例：2+9+8=（2+8）+9=10+9=19。

2）减法：几个数相减时，先将能凑成整数的先算，然后再减。

例：26-8-6=（26-6）-8=20-8=12。

（3）乘法

1）一个因数是2、4、8的简法：由于数字的叠倍（乘2）计算比较容易，而4=2×2，8=2×2×2，即叠一次就是乘2，叠两次就是乘4，叠三次就是乘8。因此，逢一个因数是2、4、8就可用叠倍数很快地算出来。

例1：43×4可将43叠两次：43→86→172，得积172。

例2：74×8可将74连叠三次：74→148→296→592，得积592。

2）一个因数是5的简法：因为5=10÷2，在心算中，乘以10就似乎是没有乘，所以逢一个因数是5时，只须将另一因数除以2，而在商后加0。

例：468×5=×10=234×10=2340

3）一个因数是9的简法：因为9=10-1，逢一个因数是9时，可想成乘以（10-1）。

例：358×9，可将它想成358×（10-1）=358×10-358×1。运算时只须将358退一位减去358，并利用补数先在358中减去36为322，再在后面加一个2，得3222。

4）一个因数是99的简法：因为99=100-1，因此逢一个因数是99时，可想成乘以（100-1）。

例：38×99=38×（100-1）=38×100-38×1=3800-38=3762

5）一个因数是25的简法：因25=100÷4，故逢一个因数是25时，可想成乘以100再除以4。

例：92×25=92×100÷4=×100=23×100=2300

（4）除法

1）除数是2：遇到除数是2时，只要将被除数折半一次。

例：428÷2=214

2）除数是4：因4=2×2，故除以4就等于除以2后再除以2，即将被除数连续折半两次。

例：428÷4=428÷2÷2=214÷2=107

657÷4=657÷2÷2=328.5÷2=164.25(www.xing528.com)

3）除数是5：因为5=10÷2，故任何数除以5可将它化成n÷5=n÷（10÷2）=n÷10×2。因此，遇除数是5时，只须将被除数乘以2再进行定位（小数点往左移一位）即可。

例：746÷5=746×2÷10=1492÷10=149.2

4）除数是25：

任意数除以25，即将该数乘上4，小数点往左移两位。

例：123÷25=123×4÷100=492÷100=4.92。

5）除数是125：任意数除以125，即将该数乘上8，小数点往左移三位。

例：2468÷125=2468×8÷1000=19744÷1000=19.744。

（5）乘方

1）个位数字是5的平方：个位数字是5的数，可以看作10a+5。其平方（10a+5）₂=a²·100+2·10·5·a+25=a（a+1）·100+25。因此可以将5左边的数字乘以该数字加1，然后在后面接上25，即为该数的平方值。

例1：35²

5左边的数是3，3+1=4，3×4=12，接上25得1225。

例2：215²

5左边的数字是21，21+1=22，21×22=462，再接上25，得46225。

2）40～60之间数的平方：40～60之间的数，可看作是50±n，于是

（50±n）₂=50²±2×50×n+n²=2500±100n+n²

例1：51²=（50+1）²=2500+100×1+1²=2601

例2：48²=（50-2）²=2500-100×2+2²=2304

3）90～100之间数的平方：90～100之间的数可化为100-n，于是

（100-n）₂=100²-2×100×n+n²=10000-200×n+n²

例：96²=（100-4）²=10000-200×4+4²=9200+16=9216

4）个位数字是1、9的两位数的平方：个位数字是1、9的两位数，可看作是n±1，这里n是10的整倍数。于是

（n±1）²=n²±2n+1

例1：81²=（80+1）²=80²+2×80+1=6400+160+1=6561

例2：39²=（40-1）²=40²-2×40+1=1600-80+1=1521

5）利用平均数求乘积：由于两数相乘的积等于两数的算术平均数的平方减去公差的平方，故遇到个位数字相同、十位数字都是偶数或奇数时，计算就很方便了。

例1：77×97

一望而知它们的算术平均数87，公差是10，87²=7569，10²=100，故

77×97=87²-10²=7569-100=7469

例2：83×23

它们的算术平均数是53，公差是30，53²=2809，30²=900，故

83×23=53²-30²=2809-900=1909