非线性控制系统中描述函数的定义及分析

非线性特性在进行谐波线性化之后，仿照线性系统幅相频率特性的定义，可建立非线性特性的等效幅相特性，即描述函数。

含有本质非线性环节的控制系统其结构图一般如图7-26所示。图中，G0（s）为控制系统的固有特性，其频率特性为G0（jω）。一般情况下，G0（jω）具有低通特性，也就是说，信号中的高频分量受到不同程度的衰减，可以近似认为高频分量不能传递到输出端。那么非线性环节对于输入信号的基本频率分量的传递能力就可以提供系统关于自持振荡的基本信息。

图7-26　含有本质非线性环节的控制系统

因此，我们定义描述函数如下：

设非线性环节的输入输出关系为

当非线性环节的输入信号为正弦信号

式中，X 是正弦信号的幅值，ω是正弦信号的频率。则输出信号y（t）为周期非正弦信号，可以展开为傅氏级数

其中A0 为直流分量。如果y（t）为奇函数，则有

An、Bn 为傅里叶系数，则正、余弦谐波分量的幅值分别为

各次谐波分量用幅值和幅角来表示，得

(www.xing528.com)

各次分量的幅值为

各次分量的相位为

基波分量可表示为

基波分量的幅值为

基波分量的相位为

定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中基波分量与输入的正弦信号之比为非线性环节的描述函数，用N（Δ）表示，即为

N（Δ）表示与变量Δ的函数关系。如果N（Δ）是输入信号幅值X 的函数，则可表为N（X）。如果N（Δ）是输入信号频率ω的函数，则可表为N（jω）。

从上述关于非线性环节的描述函数N（Δ）的定义可以看出：

（1）非线性环节的描述函数是以幅值的变化与相位的变化来描述的，类似于线性系统分析中的频率特性的定义。

（2）在N（Δ）中，由于忽略了所有高次谐波分量，只考虑基波分量，因此非线性环节的描述函数不同于线性系统的频率特性。