相轨迹的运动特性及其在相平面作图中的应用

系统的相轨迹在相平面上的运动是有一定的规律的，了解相轨迹的运动特性可以使得相平面作图简化。

1.相轨迹的运动方向

在上半相平面。因＞0，故上半平面相轨迹的走向是沿着x 的增加方向，即由左至右。在下半相平面。因＜0，故下半平面相轨迹的走向是沿着x 的减小方向，即由右至左。

在实轴上，由于有速度变量＝0，由相轨迹斜率方程

可得相轨迹斜率为正负无穷。

上述相轨迹的运动方向可归结为：

（1）上半平面的相轨迹右行。

（2）下半平面的相轨迹左行。

（3）穿过实轴的相轨迹斜率为±∞。

相轨迹的基本运动方向如图7-14所示。

图7-14　相轨迹的运动方向

2.相轨迹的对称性

某些系统的相轨迹在相平面上满足某种对称条件，相轨迹的对称性可以由对称点上相轨迹斜率来判断。因此依据对称条件，相轨迹曲线可以对称画出。

（1）x 轴的对称条件（上下对称）。若相轨迹关于x 轴对称，则在对称点（x，）和（x，－）上，相轨迹斜率大小相等，符号相反。

因为相轨迹斜率方程为

所以当满足下式时，相轨迹关于x 轴对称，即

（2）轴的对称条件（左右对称）。若相轨迹关于轴对称，则在对称点（x，）和（－x，）上，相轨迹斜率大小相等，符号相反。

即当满足下式时，相轨迹关于轴对称，即

（3）原点对称条件（中心对称）。若相轨迹关于原点对称，则在对称点（x，）和（－x，－）上，相轨迹斜率相同。

即当满足下式时，相轨迹是关于原点对称的，即

相轨迹的对称如图7-15所示。

图7-15　相轨迹的对称

（a）x 轴对称；（b）轴对称；（c）原点对称

3.相轨迹的时间信息

相轨迹反映了系统的运动情况。相轨迹上任一点代表了系统在某一时刻的状态。而在相平面图上，时间变量t 为隐含的。因此，不能直接从相平面图上得到相变量x、.与时间变量t 的直接关系。

当需要从相平面图上得到相变量与时间的函数关系曲线x（t）、（t）时，可以采用增量法逐步求解得到。

由于，当dx、dt 分别取增量Δx、Δt 时，就是增量段的平均速度。所以由增量式可以写出

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增量Δx 与平均速度可以从相平面图上读到，因此也就得到了对应增量段上的时间信息。将增量信息Δt、Δx、表示在x－t 平面或者－t 平面上，便可以得到相变量与时间的函数关系曲线x（t）、（t）。

图7-16（a）所示为相平面图上时间信息的几何说明，图7-16（b）为根据时间信息得到的时间关系曲线x（t）。

图7-16　相平面图上的时间信息

（a）相平面图的增量；（b）时间曲线x（t）

4.相轨迹的奇点

用相平面法分析系统的要点之一是确定奇点及奇点的类型，从而可以确定系统相轨迹在奇点附近的分布，判断系统的工作状态。

二阶系统为

相轨迹的斜率方程为

我们将相平面上同时满足

的点定义为相轨迹的奇点，或者称为系统的平衡点。

奇点是一个特殊点，在奇点上，相轨迹的斜率是不确定的，即为型。也就是说，有无穷多条相轨迹趋近或离开该点，相轨迹会在该点相交。如果是二阶线性系统，各系数均不为零时系统的平衡点是惟一的，位于相平面的原点上，即

不满足上述条件的点称为普通点。在普通点上，相轨迹的斜率是一个确定的值，故经过普通点的相轨迹是惟一的。即除奇点之外，相轨迹是不相交的。

如果是二阶非线性系统，奇点可能不止一个，有时也许有无穷多个，因而构成奇线。

5.奇点邻域的运动性质

因为相轨迹在奇点处相交，从奇点上可以引出无穷条相轨迹，所以相轨迹在奇点邻域的运动可以分为趋向于奇点的，远离奇点的以及包围奇点成为闭合的等几种情况。

以二阶线性定常系统为例，由于系统参数不同，相轨迹在奇点邻域的运动会出现上述的几种情况。二阶线性定常系统为

当阻尼比为不同的取值范围，奇点的性质与相轨迹的走向分别如表7-1所示。

表7-1　二阶线性定常系统奇点的性质

6.极限环

若非线性系统的相轨迹在相平面图上表现为一个孤立的封闭曲线，所有附近的相轨迹都渐进地趋向或离开这个封闭的曲线，则这个封闭的相轨迹称为极限环。

非线性系统中的自持振荡状态在相平面图上的表现就是一个极限环，在相平面上成为闭合的相轨迹如图7-17所示。

图7-17　几种极限环的自持振荡情况

在极限环邻域，相轨迹的运动如果趋向于极限环而形成自持振荡，则称为稳定极限环。否则称为不稳定极限环，如图7-18所示。

图7-18　极限环稳定与不稳定

（a）原点稳定；（b）不稳定极限环；（c）极限环稳定