闭环频率特性曲线及其在动态响应中的定性分析

在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统的闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。

如图5-49所示闭环频率特性曲线。

图5-49　闭环幅频特性曲线

1.定性分析

（1）零频的幅值M（0）反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。

因为M（0）＝Φ（0），则：

当M（0）＝1 时，说明系统在阶跃信号作用下没有静差，即eSS＝0。

当M（0）≠1 时，说明系统在阶跃信号作用下有静差，即eSS ≠0。

（2）谐振峰值Mm 反映系统的平稳性。

Mm 大，说明系统的阻尼弱，动态过程的超调量大，平稳性差。Mm 小，系统的平稳性好。

一阶系统，幅频曲线没有峰值，其阶跃响应过程没有超调。即σ%＝0，平稳性好。

二阶系统，当阻尼比ζ较小时，幅频出现峰值，即

ζ越小→Mm 越大→超调量σ%越大→平稳性差。

从一个极端情况看，当Mm→∞时，即系统在某个频率ωm 的正弦信号作用下，则

|Φ（jωm）|→∞

这相当于其分母即系统闭环特征式趋于0，即有±jωm 的特征根，系统处于临界稳定状态，动态过程具有持续的等幅振荡，对应超调量σ%＝100%。调节时间tS→∞。

（3）带宽频率ωb 反映系统的快速性。

带宽频率ωb 是指幅频特性M（ω）的数值衰减到0.707M（0）时所对应的频率。

ωb 高，则M（ω）曲线由M（0）到0.707M（0）所占据的频率区间（0，ωb）较宽，表明系统复现快速变化的信号能力强，失真小，反映系统自身的惯性小，动态过程进行得迅速。

对于一阶系统

解出上式

系统调节时间。所以，ωb 越大，tS 越小。系统快速性越好。

对于二阶系统

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当取ζ＝0.707 时，由上式解出

ω＝ωb＝ωn

根据调节时间，有ωn↑→ωb↑→tS↓。

若从一个极端来看，如果ωn→∞，即系统闭环幅频永不衰减，则有

M（ω）＝|Φ（jω）|＝1＝Φ（s）

系统相当一个K＝1 的比例环节，输出c（t）在任何时刻都等于输入r（t）。响应的调节时间tS 为零。

当闭环幅频的峰值Mm 不变时，系统的带宽与响应时间存在反比关系。

如果两个系统的频率特性分别为

式中，n 为任意常数。则对应的单位阶跃响应具有如下关系

式（5-95）和式（5-96）的含义如图5-50所示。

图5-50　带宽与响应时间的反比关系图

以上关系说明，系统的频率特性放宽n 倍，对应系统的单位阶跃响应就加快n 倍，这一结论可证明如下

所以有

（4）闭环幅频M（ω）在ωb 处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。

ωb 处的M（ω）曲线的斜率越陡，对高频正弦信号的衰减越快，抑制高频干扰的能力越强。

2.定量估算

利用一些经统计计算得到的公式和图线，可以由闭环幅频M（ω）曲线直接估算出阶跃响应的性能指标σ%及tS。下面仅介绍一种方法。

设稳定系统的幅频特性曲线如图5-51所示，图中：M0 即为M（0）；Mm 为峰值；ωb为M（ω）衰减至0.707M0 处的角频率，即频带；ω0.5为M（ω）衰减至0.5M0 处的角频率；ω1 为M（ω）过峰值后又衰减至M0 值所对应的角频率。

图5-51　闭环幅频特性M（ω）曲线

依上述诸值，时域性能指标的估算公式为