控制系统稳定裕度的重要性及应用

基于频域稳定性判据在波德图上的描述，可以在波德图上定义两个开环频域的性能指标。这两个开环频域的性能指标又称为开环系统的稳定裕度。

开环系统的波德图上有两个稳定裕度，一个称为幅值裕度Lg；另一个称为相位裕度γc。其几何表示如图5-48所示。

图5-48　幅值裕度和相位裕度

1.幅值裕度Lg

令对数相频特性φ（ω）过－180°时的频率为ωg，频率为ωg 时的幅值为Ag，增大Kg 倍后为单位1（穿过单位圆），即

KgAg＝1

因此

两边取对数得到幅值裕度Lg 为

幅值裕度作为定量值指明了如果系统是稳定的，那么系统的开环增益K0 再扩大多少倍系统就不稳定了，或者在波德图上，开环对数幅频特性L0（ω）再向上移动多少分贝，系统就不稳定了。如果是不稳定系统，与上述描述相反。(www.xing528.com)

2.相位裕度rc

令对数幅频特性L（ω）过0dB时的频率为ωc，则定义相位裕度为

相位裕度作为定量值指明了如果是不稳定系统，那么系统的开环相频特性φ0（ω）还需要改善多少度就成为稳定的了。如果系统是稳定的，与上述描述相反。

从稳定裕度的定义可以得到，对于稳定系统有：

幅值裕度

相位裕度

稳定裕度Lg 与rc 可以用来作为控制系统的开环频域性能指标。在分析或者设计一个控制系统时，系统的性能就可以用稳定裕度Lg 与rc 的定量值来描述了。

在使用中，幅值裕度Lg 与相位裕度rc 是成对来使用的。有时仅使用一个裕度指标，如经常用的是相位裕度rc。这时对于系统的绝对稳定性的分析没有什么影响，但是在相位裕度rc 较大，而幅值裕度Lg 较小的情况下，对于系统动态性能的影响是很大的。一般要求rc≥40°，Kg≥2，Lg＝20lgKg≥6dB。

此处定义的稳定裕度只适用于最小相位系统。对于非最小相位系统，也可以定义这样的裕度指标，但是由于情况非唯一，没有实用意义。