奈奎斯特稳定性判据

时间：2023-06-30 理论教育版权反馈

【摘要】：下面利用复变函数中的辐角原理来寻找一种确定位于右半s 平面内F零点数目的方法，从而建立判断闭环系统稳定性的奈氏判据。若开环系统稳定，即P＝0 时，开环极坐标图G（jω）H（jω）不包围点，则闭环系统稳定。

奈奎斯特稳定性判据

对于图5-35所示系统，G（s）和H（s）分别为两个多项式之比的有理分式，设

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图5-35　反馈控制系统

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如果G（s）和H（s）没有零点和极点对消，则系统的

开环传递函数

其闭环传递函数

奈氏判据是从研究闭环与开环特征多项式之比这一函数入手的，这一函数仍是复变量s 的函数，称之为辅助函数，记作F（s），即

从式（5-75）看出，辅助函数F（s）的分子是系统闭环特征多项式，分母是系统开环特征多项式。

对于物理系统，其开环传递函数的分母最高次幂n 必大于分子最高次幂m，即n＞m。

将F（s）写成零、极点形式，则

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式中 zi——F（s）的零点，也是闭环传递函数的极点；

Pi——F（s）的极点，也是开环传递函数的极点。

辅助函数F（s）的特点：①其零点和极点分别是闭环和开环的特征根；②其零点的个数与极点的个数相同；③辅助函数F（s）与系统开环传递函数只差常数1。

式（5-76）中的极点Pi 通常是已知的，但要求出其零点zi 的分布就不容易了。下面利用复变函数中的辐角原理来寻找一种确定位于右半s 平面内F（s）零点数目的方法，从而建立判断闭环系统稳定性的奈氏判据。

1.辐角原理

在s 平面上任选一复数s，通过复变函数F（s）的映射关系，可在F（s）平面上找到相应的像。

设F（s）的零、极点分布如图5-36（a）所示。

在右半s 平面内任作一闭合路径ΓS（注意不能使路径通过F（s）的任何一个零点或极点），在路径上任选一点A，使s 从A点开始移动，绕F（s）的零点zi 顺时针沿封闭曲线ΓS 转一周回到A点，相应的F（s）在F（s）平面上从B点出发再回到B点，也描出一条封闭曲线ΓF，如图5-36（b）所示。

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图5-36　s 与F（s）的映射关系

当s 依ΓS 变化时，F（s）的相角变化为，由式（5-76）可得

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其中：表示s 依ΓS 变化时，向量s－zi 的辐角变化量。含义与前述类似。

式（5-77）中，在ΓS 路径内的zi，其辐角变化量为－2π，在ΓS 路径外的zi，其辐角变化量为0。

根据图5-36（a）所示，路径ΓS 中只包围了一个zi，其余的F（s）的零、极点均分布在ΓS 之外，所以

式（5-78）表示，在F（s）平面，F（s）曲线从B点开始，绕原点顺时针转了一圈。

同样当s 从s 平面上A 点开始，绕F（s）的一个极点Pk 顺时针转一圈时，在F（s）平面上，F（s）曲线绕原点反时针转一圈。

根据以上分析，可得辐角原理：

如果封闭曲线ΓS 内有Z 个F（s）的零点，有P 个F（s）的极点，则s 依ΓS 顺时针转一圈时，在F（s）平面上，F（s）曲线绕原点反时针转的圈数R 为P 和Z 之差，即

若R 为负，表示F（s）曲线绕原点顺时针转过的圈数。

2.奈氏判据

如果把s 平面的封闭曲线ΓS 取为虚轴和右半s 平面上半径ρ为无穷大的半圆，如图5-37所示。那么ΓS 就扩大到了整个右半s 平面，则式（5-79）中的P 和Z 分别表示辅助函数F（s）分布在右半s 平面的极点和零点数，也就是开、闭环传递函数分布在右半s平面上的极点数。当s 沿无穷大半圆及虚轴变化时，F（s）在F（s）平面上绕原点反时针转的圈数R＝P－Z。若Z＝0，则F（s）在F（s）平面绕原点反时针方向转过P 圈，说明闭环系统是稳定的。如果R≠P，说明闭环系统是不稳定的。闭环分布在右半s 平面的极点数可由下式求得

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图5-37　包括全部右半s平面的封闭曲线ΓS

如果开环稳定，即P＝0 时，闭环系统稳定的条件是：F（s）绕原点转过的圈数R＝0。

辅助函数F（s）与开环传递函数G（s）H（s）之间仅相差1，显然，F（s）在F（s）平面绕原点反时针方向转过的圈数，G（s）H（s）平面上变为绕（－1，j0）点反时针方向转过的圈数，因此，式（5-79）中的R 可用G（s）H（s）绕（－1，j0）点反时针方向转过的圈数来确定。

由于物理可实现系统中，开环传递函数分母的最高次幂总大于分子的最高次幂，当s 在ΓS 的圆弧段取值时，通过G（s）H（s）映射到G（s）H（s）平面上的像是原点，这恰好是s 平面虚轴无穷远点映射到G（s）H（s）平面上的像，这就是说，当s对应虚轴上的±j ∞取值时，通过G（s）H（s）映射到G（s）H（s）平面上的像也是原点。这样，我们可以将G（s）H（s）中的复变量s 用jω代换，并令ω从－∞变化到＋∞，（即，而G（jω）H（jω）正是系统的开环极坐标）绘制G（jω）H（jω）曲线，研究其绕（－1，j0）点反时针转过的圈数。

当ω从－∞→0 和从0→＋∞时，对应的两条G（jω）H（jω）曲线相对于实轴是互为镜像的，所以实际上只要绘制ω从0→∞变化时的曲线，这时对应的G（jω）H（jω）曲线绕（－1，j0）点转过的圈数N（反时针方向转过的圈数为正，顺时针方向转过的圈数为负）为

闭环系统稳定的条件是Z＝0，则有

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若闭环系统不稳定，则闭环在右半s 平面的极点数为

奈奎斯特稳定判据：闭环系统稳定的充要条件是当ω由0 变到∞时，开环极坐标图G（jω）H（jω）绕（－1，j0）点反时针方向转过圈。P 为开环传递函数位于右半s 平面的极点数。

若开环系统稳定，即P＝0 时，开环极坐标图G（jω）H（jω）不包围（－1，j0）点，则闭环系统稳定。

关于开环传递函数包含积分环节的处理如下：

当开环传递函数G（s）H（s）包含有积分环节时，则开环具有s＝0 的极点，此极点分布在坐标原点上。其开环传递函数可用下式表示

由于s 平面上的坐标原点是所选闭合路径ΓS 上的一点，把这一点的s 值代入G（s）H（s）后，使|G（0）H（0）|→∞，这表明坐标原点是G（s）H（s）的奇点，为了使ΓS 路径不通过此奇点，将它作些改变使其绕过原点上的极点，并把分布在坐标原点上的极点排除在被它所包围的面积之外，但仍应包含右半s 平面内的所有闭环和开环极点，为此，以原点为圆心，作一个半径为无穷小的半圆，使ΓS 路径沿着这个无穷小的半圆绕过原点，如图5-38所示。

这样闭合路径ΓS 就由－jω轴、无穷小半圆、jω轴、无穷大半圆四部分组成。当无穷小半径趋于0 时，闭合路径ΓS 仍可包围整个右半s 平面。

位于无穷小半圆上的s 可用下式表示

下面讨论υ＝1 时，令ε→0。将式（5-85）代入式（5-84）中，得

根据式（5-86）可确定s 平面上的无穷小半圆映射到G（s）H（s）平面上的路径。在图5-38中的a 点，s 的幅值ε→0，相角θ为－。对应|G（s）H（s）|→∞，φ＝－θ＝，这说明无穷小半圆上的a 点映射到G（s）H（s）平面上为正虚轴上无穷远处的一点。在b 点处，ε→0，相角θ为0，对应|G（s）H（s）|→∞，φ＝－θ＝0，说明b 点映射到G（s）H（s）平面上为正实轴上无穷远处的一点。对于c 点，ε→0，，对应G（s）H（s）→∞，φ＝。这说明c 点映射到G（s）H（s）平面上为负虚轴上无穷远处的一点。当s 沿无穷小半圆由a 点移到b 点，再移到c 点时，角度θ反时针方向转过180°，而对G（s）H（s）的角度，则是顺时针方向转过180°（如果系统的类型是υ型，则G（s）H（s）角度的变化是υ×180°），s 平面上的半圆abc，映射到G（s）H（s）平面上为无穷大的半圆abc，如图5-38所示。