如何绘制开环极坐标图？

绘制控制系统的开环极坐标图可以利用计算机绘图工具准确作出。利用开环频率特性G0（jω）的一些特点也可以近似地描绘出它的草图。尽管不太准确，但是用于系统的定性分析还是非常有用的。

下面定性地来讨论控制系统开环频率特性G0（jω）的一些特点。G0（jω）可以表示为

（1）极坐标图的起点。极坐标图的起点是ω→0 时G0（j0＋）在复平面上的位置。当前向通路积分环节的个数υ大于零且ω→0 时有

模的大小为

相角大小为

所以极坐标图的起点位置与前向通路积分环节的个数υ有关。υ为不同值时，极坐标图的起点位置如图5-24所示。

图5-24　极坐标图的起点

（2）极坐标图的终点。极坐标图的终点是ω→＋∞时G0（＋j∞）在复平面上的位置，当ω→＋∞时有

模的大小为

相角大小为

所以极坐标图终点的入射角度是不同的，入射角度的大小由分母多项式的次数与分子多项式次数之差n－m 来决定。各种趋近情况如图5-25所示。

图5-25　极坐标图的终点

（3）坐标轴穿越点与单位圆穿越点。坐标轴穿越点与单位圆穿越点如图5-26所示。这两类穿越除了要确定穿越位置之外，还需要作如下考虑。

图5-26　极坐标图的穿越点

在坐标轴穿越点邻域需要确定的是ω＝ωx 时，G0（jωx）是以角度增加方式还是以角度减少的方式穿越坐标轴。

在单位圆穿越点邻域需要确定的是ω＝ωy 时，G0（jωy）是以幅值增加方式还是以幅值减少的方式穿越单位圆。

在不需要准确地作图时，根据上述三条，可以定性地作出开环频率特性G0（jω）的极坐标草图。

【例5-1】 已知单位负反馈开环传递函数为

试作其极坐标草图。(www.xing528.com)

解：由于υ＝1，有

所以起点位于负虚轴无穷远处。

由于n－m＝2，有

所以曲线以相位角－180°趋于原点。相角为

当ω增加时，φ（ω）是单调减的。

由以上定性分析，可以作出极坐标草图如图5-27（a）所示。

图5-27　例题5-1 的极坐标图

（a）趋势草图；（b）准确图

当然，该系统比较简单，可以写出它的实部函数与虚部函数表达式来比较准确地描点作图。由于

所以有

当ω→0 时，实部函数有渐近线为－1，可以先作出渐近线，然后描点将极坐标图作出5-27（b）所示。

图5-27中的两图看上去差别较大，但是应用该图作系统分析时，从定性分析的观点来看是一样的，也就是说图（a）趋势作图的粗略性，基本不影响该图在系统分析时的应用。

【例5-2】 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

试作出极坐标图的草图。

解：由于υ＝2，有，由于n－m＝3，有，所以曲线起点位于负实轴无穷远处；终点以相位角－270°趋于原点，相角为

当ω增加时φ（ω）从－180°先增后减。当ω→＋∞时，φ（ω）减至－270°。

所以可以算出

ωx＝0.255 时，φ（0.255）＝－180°

曲线从第三象限穿越负实轴到第二象限。

由以上分析，作出极坐标草图如图5-28所示。图中，增益K 不同时，曲线穿越负实轴的位置不同。但是穿越频率ωx 是相同的，曲线的形状是相似的。

图5-28　极坐标图草图