根轨迹随开环零点变化的分析

设系统的开环传递函数为

式中，K*为开环根轨迹增益，这里是已知的，而z1 是开环零点，现在要研究当z1＝0→－∞时，系统的闭环根轨迹变化情况，显然不能利用常规根轨迹法。但是，考虑到闭环系统常规根轨迹方程是从闭环特征方程推导出来的，由于不管是K*变化还是z1 变化，闭环系统特征方程是相同的，这样我们就可以仿照关于K*变化的常规根轨迹方程写出关于z1 变化的广义根轨迹方程。首先从特征方程式相同出发，引入等效开环传递函数的概念。然后就可以用常规根轨迹所有法则来绘制广义根轨迹。下面以式（4-33）具体系统为例，说明什么是等效开环传递函数，以及等效开环传递函数的一般求法。

式（4-33）所对应的闭环特征方程为

对式（4-35）进行等效变换，可写成

令

式（4-37）就是等效开环传递函数。比较式（4-33）可见，两系统具有相同的闭环特征方程，但具有不同的闭环传递函数，即闭环极点相同，而零点不一定相同。一般情况闭环系统特征方程为

进行等效变换，写成如下形式

式中，A为系统的K*以外的任意变化的参数，如开环零、极点等，P（s）和Q（s）为与A无关的首项系数为1 的多项式。比较式（4-36），为等效开环传递函数，即

显然，利用式（4-40）就可画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。

【例4-8】 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

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试画出Td 从0→∞变化时的闭环概略根轨迹。

解：求出等效开环传递函数。闭环特征方程为

根据等效开环传递函数，利用常规根轨迹绘制法则，画出Td＝0→∞变化的广义根轨迹。

（1）n＝2，有两条根轨迹。

（2）两条根轨迹分别起于开环极点－0.1＋j0.995，－0.1－j0.995，终于零点和无穷远处。

（3）实轴上的根轨迹在（0，－∞）区间。

（4）渐近线与实轴的交点和夹角

当n－m＝1 时，根据根轨迹对称性，渐近线一定在实轴上，一般可不必计算α，σ0。

（5）分离点坐标d

（6）出射角

θp1＝180°－θp2，p1＋θp1，z＝180°－90°＋95.74°＝185.74°

θp2＝－185.74°

根轨迹如图4-16所示。不难证明，该根轨迹在复平面上部分是以零点为圆心，以零点到分离点之间距离为半径的圆的一部分。

图4-16　例4-8 题根轨迹图