根轨迹分支数、起点与终点

n 阶系统对于任意增益值其特征方程都有n 个根，所以当增益Kg 在由0→∞变化时，在s 平面有n 条根轨迹，即根轨迹的分支数等于n，与系统的阶数相等。

当Kg＝0 时是根轨迹的起点，为使式（4-13）成立必有s＝－Pi，i＝1，2，…，n，而s＝－Pi 为系统的开环极点，所以n 条根轨迹起始于系统的n 个开环极点。

当Kg→∞时是根轨迹的终点，为使式（4-13）成立必有s＝－zj，j＝1，2，…，m，而s＝－zj 为系统的开环零点，所以n 条根轨迹应该终止于系统的m 个开环零点。

式（4-13）中，一般情况下由于n≥m 所以n 阶系统只有m 个有限零点，n 条根轨迹中的m 条根轨迹终止于m 个有限零点。对于其余n－m 条根轨迹，当Kg→∞时方程右边有

当Kg→∞时s→∞方程左边有(www.xing528.com)

即当s→∞时，方程两边才相等。由此可知，若n＞m则Kg→∞时，有n－m条根轨迹趋于s 平面的无穷远处。

法则1 有n 个开环极点，m 个开环零点的系统（n≥m），根轨迹的分支有n 条，它们分别起始于n 个开环极点，有m 条终止于开环零点，尚有n－m 条终止于无穷远处的零点。

注：若特征方程中，m≥n，则方程的阶数与m，n 中大者m 相同，则根轨迹的分支数也与m 相同，根轨迹起始于n 个开环极点和（n－m）无穷远处的极点，而终止于m 个开环零点。