根轨迹在闭环系统中的变化趋势与作用

根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。

为了了解什么是根轨迹，根轨迹应该满足什么条件，首先来看一个引例。

【例4-1】 设一随动系统如图4-1所示。绘出此系统的根轨迹。

图4-1　控制系统结构图

解：系统开环传递函数为

闭环传递函数为

闭环特征方程为

s2＋2s＋Kg＝0

用解析法可求得两个根为

当增益从Kg＝0 开始增加取不同值时，可求得相应的特征根s1，s2 见表4-1。由于系统的闭环极点是连续变化的，表现在s 平面上即为引例系统的根轨迹图如图4-2所示。图中箭头方向表示开环增益Kg 增大时闭环极点移动的方向，开环极点用“×”来表示，开环零点用“0”来表示（引例系统没有开环零点），粗实线即为开环增益Kg 变化时闭环极点移动的轨迹。

表4-1(www.xing528.com)

在图4-2上，Kg＝0 时为根轨迹的起点。闭环方程为

所以根轨迹的起点是系统的开环极点。

当增益增加到Kg＝1 时，方程为

s2＋2s＋1＝0

方程有两个重根s1，2＝－1。所以增益的范围为0≤Kg≤1 时，闭环极点在实轴上如图4-2所示。

图4-2　 的根轨迹图

当增益Kg≥1 后，闭环极点为

共轭复数根的实部为常数值－1，虚部随着Kg 的增大向两边延伸如图4-2所示。

当Kg→∞时有

如果令开环增益Kg 从零变到无穷，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头表示随着Kg 值的增加，根轨迹的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益Kg 的数值。