Routh-Hurwitz判据的应用及相关研究

由于线性定常系统的稳定性完全取决于其特征方程的根，因此只要求出特征方程的根，然后确定它们在复平面上的分布情况，就可以判断系统的稳定性了。

这种求解特征方程得到特征根的方法，对于阶次较低（n≤3）的系统应用起来较为方便，而当系统阶次较高时，用求解特征方程的方法得到特征根就比较困难，必须借助于计算机来完成，这样就显得比较麻烦。

工程上，对于阶次比较高（n≥4）的系统，一般采用间接方法判断其稳定性，即只要判断出特征方程是否有右半复平面的根，如果有的话，有几个，这样就可以得到系统的稳定性以及特征根的分布情况。

这种间接判断稳定性的方法就是稳定性的Routh—Hurwitz 判据，亦称为代数判据。它是1877年英国数学家Routh 和1895年德国数学家Hurwitz 分别独立创立的，故称为Routh—Hurwitz判据。

1.Routh判据

应用Routh判据判断线性定常系统稳定性的具体步骤：

（1）求出闭环特征方程式

（2）由闭环特征方程式列写Routh表。Routh表形式如下：

（3）根据Routh表第一列元素的符号，由Routh判据判断系统的稳定性。

Routh表的特点：

1）si（i＝n，n－1，…，1，0）为Routh表中各行元素的行号。

2）第一、二行元素为闭环特征方程式中s 的各项系数。

3）从第三行开始其余元素按下式计算并填入Routh表中。

4）Routh表中共n＋1 行，且最后两行各一列元素。

5）Routh表中第一行元素个数为

Routh判据的内容是：闭环线性定常系统稳定的充要条件是由闭环特征方程式所列写的Routh表中第一列元素全部为正数。

如果Routh表中第一列元素出现负数，那么系统不稳定，而且第一列元素正、负号的变化次数为闭环特征方程式在右半复平面上根的个数。

【例3-1】 某系统的闭环特征方程式为2s6＋5s5＋3s4＋4s3＋6s2＋14s＋7＝0，试判断其稳定性，并确定它的特征根的分布情况。

解：由已知闭环特征方程式列写Routh表如下：

因为Routh表中第一列元素中的－1589/115 小于零，所以由Routh 判据可以得到该系统不稳定。

又因为Routh表中第一列元素115/18 变为－1589/115 符号变化了1 次；－1589/115变为7 符号又变化了1 次；符号共变化了2 次，所以该系统的特征根的分布情况是：有2个根位于右半复平面，其余4 个根位于左半复平面（它的6 个特征根为：－2.182，－0.599，－0.691±j1.059，0.832±j0.992）

应用Routh判据时，会遇到两种特殊情况：

第一种特殊情况是：Routh表中第一列元素出现0，而其余元素均不为0。

对于这种情况的处理方法是用一个很小的正数ε代替该0 元素，由此可以计算Routh表中的其余元素，并完成Routh表。

如果所得Routh表第一列元素均大于0，则系统临界稳定；特征根的分布情况为：一对（2 个）纯虚根位于虚轴上，其余根位于左半复平面。

如果所得Routh表第一列元素中出现负数，则系统不稳定；特征根的分布情况为：第一列元素的正负号变化次数个根位于右半复平面，一对纯虚根位于虚轴上，其余根位于左半复平面。（适用条件：n≥4）

【例3-2】 某系统的闭环特征方程式为s4＋5s3＋10s2＋20s＋24＝0，试判断其稳定性并确定它的特征根的分布情况。

解：由已知的闭环特征方程式可以列写Routh表如下：

因为Routh表中第一列出现0 元素，且用ε代替后，第一列元素均大于0，所以该系统临界稳定。它的特征根的分布情况为：一对纯虚根位于虚轴上；其余2 根位于左半复平面。该系统的特征根为：±j2，－2，－3。

【例3-3】 已知某系统的闭环特征方程式为s3－3s＋2＝0，试判断其稳定性，并讨论它的特征根的分布情况。

解：由已知可以得到如下的Routh表：

因为Routh表中第一列出现0 元素，用ε代替后仍有负数元素出现，所以该系统不稳定。它的特征根的分布情况：2 个根位于右半复平面，一个根位于左半复平面。该系统的特征根为：1，1，－2。

第二种特殊情况是：Routh表中出现0 元素行。

这种情况的处理方法是利用全0 元素行的上一行元素构成一个辅助多项式（全0 元素行在第3 行即它的上一行元素在第2 行时，利用第2 行元素所在闭环特征方程式中的项构成一个辅助多项式；全0 元素行在第3 行以下时，利用其上一行元素构成辅助多项式的方法为：第一列元素乘以行号所代表的s 的次幂数，第二列元素乘以行号所代表的s 的次幂减去2 所得次幂数，以此类推，求得所有次幂数的代数和即为所构成的辅助多项式）；并对该辅助多项式求导数，用所得导数的系数代替Routh 表中的全0 行元素，然后完成Routh表。

如果所得Routh表中第一列元素均大于0，则该系统临界稳定，闭环特征根的分布情况为：一对共轭纯虚根位于虚轴上，其余根位于左半复平面；如果所得Routh 表中第一列出现负数元素，则该系统不稳定；闭环特征根的分布情况为：第一列元素正负号变化次数个特征根位于右半复平面，一对共轭纯虚根位于虚轴上，其余根位于左半复平面。

注意：求解辅助多项式可以得到关于原点对称的特征根，其个数为该全0 行元素个数的两倍。

【例3-4】 已知某系统的闭环特征方程式为s5＋2s4＋24s3＋48s2－25s－50＝0，试判断其稳定性并确定闭环特征根的分布情况。

解：由已知可以列写如下的Routh表：

因为Routh 表中第三行为全0 元素行，所以由其上一行元素可以构成辅助多项式P（s）＝2s4＋48s2－50，则辅助多项式的导函数为，用8 和96 依次代替全0 行的元素，这样可以完成Routh 表。然而Routh 表中第一列出现负数元素，所以该系统不稳定。它的特征根的分布情况为：1 个特征根位于右半复平面，一对（2 个）共轭纯虚特征根位于虚轴上，其余2 个特征根位于左半复平面。该系统的特征根为：1，±j5，－1，－2。

Routh判据的应用归纳起来有下面四种情况：判断闭环系统的绝对稳定性；确定闭环系统特征根的分布情况；判断闭环系统的相对稳定性；确定系统稳定时某些参数的取值范围。

实际工程中，判断系统的稳定与否，只解决了系统的绝对稳定性问题；当系统在实际的工作过程中，它的参数会发生微小的变化或受到外界干扰的影响，原来稳定的系统稳定性是否发生变化，这就决定于系统的相对稳定性。

一般地，系统的相对稳定性用稳定裕度来描述。(www.xing528.com)

稳定裕度的含义：时域法中，稳定裕度是指系统闭环特征根距离虚轴的最小距离。

稳定裕度的求取方法如下：

计算法：用s＝z－a（a∈R＋）代替闭环特征方程式中的s，从而得到关于z 的特征方程式。对于z 的特征方程式列写Routh表，求取系统临界稳定时a 的取值大小，即可得到稳定裕度。

检验法：假设稳定裕度是某一具体值，可以得到变换式s＝z－K（K 为某一具体值），列出关于第二变量（z）的Routh表，判断系统是否临界稳定。若临界稳定，则K 为稳定裕度；若不满足临界稳定条件，另设具体值，重复以上过程，可得稳定裕度。

【例3-5】 已知某系统的闭环特征方程式为s3＋5s2＋8s＋6＝0，试判断其稳定性并确定其稳定裕度。

解：由已知可以列写Routh表如下：

因为Routh表中第一列元素都大于零，所以该系统稳定。

假设该系统的稳定裕度为1，则可以将s＝z－1 代入原闭环特征方程式得

（z－1）3＋5（z－1）2＋8（z－1）＋6＝0，即z3＋2z2＋z＋2＝0

故可以列写关于z 的Routh表如下：

因为关于z 的Routh表中第一列出现零元素，所以此时该系统临界稳定。

故该系统的稳定裕度为1。

对于应用Routh 判据确定系统稳定时某些参数的取值范围的情况，可以通过下面的例子来加以陈述。

【例3-6】 已知某系统的结构图如图3-14所示，若系统的开环增益可调，试确定使系统稳定的K 的取值范围。

图3 14 系统结构图

解：由已知结构图可得系统的闭环传递函数为

则系统的闭环特征方程式为

s3＋5s2＋6s＋K＝0

由闭环特征方程式可以列写Routh表如下：

欲使系统稳定，则Routh表第一列元素都大于零，即

故所求K 的取值范围为0＜K＜30。

2.Hurwitz判据

应用该判据判断稳定性的步骤如下：

（1）求取闭环特征方程式ai（i＝n，n－1，…，1，0）∈R，an＞0。

（2）列写Hurwitz行列式。

（3）由Hurwitz行列式得它的各阶主子行列式。

（4）由Hurwitz判据判断系统的稳定性。

其中关键是列写Hurwitz行列式，Hurwitz行列式的列写方法是由闭环特征方程式的系数按下列规则组成一个n×n 阶行列式，即Hurwitz行列式。

列写规则是：

（1）主对角线的元素由左上到右下依次是an－1，an－2，…，a1，a0。

（2）各列元素按下标递增规律从上而下填写其他系数，不存在的用0 补齐。

Hurwitz行列式的形式为

Hurwitz判据的内容是线性定常系统稳定的充要条件是Hurwitz行列式的各阶主子行列式的值都大于零，即Di（i＝1，2，…，n）＞0，亦即D1＝an－1＞0，D2＞0，…，Dn＝D＞0。

以上两种判据都可以判断线性定常系统的稳定性，它们之间具有下面的关系：

（1）Routh表中第一列元素与Hurwitz行列式的各阶主子行列式之间的关系

a1，1＝an，a2，1＝an－1＝D1，a3，1＝D2/D1，a4，1＝D3/D2，…，an＋1，1＝Dn/Dn－1

（2）当ai，1（i＝1，2，…，n，n＋1）都大于零时，等价于Di（i＝1，2，…，n）都大于零；可见Routh判据和Hurwitz判据在本质上是一样的。

（3）Routh判据可用于阶次较高系统的稳定性的判断而且计算量较小，而Hurwitz判据一般用于n≤6 的系统的稳定性的判断而且计算量较大。

Hurwitz判据在实际中应用时可以进行一定的简化，特别是当n≤4 时，Hurwitz 判据的简化形式是：

n＝2 时，系统稳定的充要条件为ai（i＝2，1，0）＞0；

n＝3 时，系统稳定的充要条件为ai（i＝3，2，1，0）＞0，a2a1－a0a3＞0；

n＝4 时，系统稳定的充要条件为ai（i＝4，3，2，1，0）＞0，a2a1－a0a3＞0；a1a2a3－a21a4－a0a23＞0。