线性定常系统稳定的充要条件分析

对于线性定常系统，稳定性的影响因素只与系统的结构和参数有关，而与初始条件、输入量的形式和大小无关。因此，就可以用系统的齐次微分方程对它进行分析，并由此来讨论系统稳定的充要条件。

线性定常系统齐次微分方程的一般形式

线性定常系统的特征方程式：

设该系统无重根，有q个实根si（i＝1，2，…，q）、γ对共轭复根σk±jωk（k＝1，2，…，γ），其中q＋2γ＝n。可以利用求解微分方程的方法或求特征根的方法得到系统的零输入响应为：

由于系统的输入量为零，因此它的平衡点在原点。

系统稳定时，，此式成立的前提条件是特征方程的根全在左半复平面（即实根全部小于零，共轭复根的实部全部小于零）。

如果至少有一个正实根或一对实部为正数的共轭复根，则它们对应的零输入响应中的项esit（i＝1，2，…，q）→∞或（k＝1，2，…，γ）→∞，此时c（t）→∞，系统就不能回到平衡位置，或称为系统的输出发散并趋于无穷大，故系统不稳定。(www.xing528.com)

线性定常系统稳定的充要条件是：闭环系统的特征方程式的所有根全部为负实数或实部为负实数的共轭复数，即所有闭环特征根全部位于左半复平面。

线性定常系统的三种状态是：

（1）系统稳定⇔闭环特征根都在左半复平面；

（2）系统不稳定⇔闭环特征根中有一个或多个位于右半复平面，其余根全部在左半复平面；

（3）系统临界稳定⇔闭环特征根中有一对或多对共轭复根位于纯虚轴上，其余根全部在左半复平面。

实际工程中，由于在系统受到外界干扰作用或长时间工作条件下系统的参数会发生一定的变化，从而使系统临界状态只能维持很短时间，因此把系统临界稳定也归为系统不稳定。故工程上只采用系统稳定状态，而不采用系统临界稳定和系统不稳定这两种状态。