二阶系统单位阶跃响应分析

其中，由s2＋2ζωns＋ω2n＝0 可求得两个特征根，即

对不同的ζ值，s1，s2 的性质是不同的，即s1，s2 有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。

1.ζ＞1 过阻尼振荡状态

特征根，为两个不相等的负实数根，即有

其中，A1、A2、A3 为待定数。

输出响应的拉氏反变换

此时，系统输出随时间t 单调上升，无振荡和超调，由于输出响应含负指数项，因而随着时间推移，对应的分量逐渐趋于零，输出响应最终趋于稳态值。

2.ζ＝1 临界阻尼振荡状态

特征根s1，2＝－ζωn＝－ωn，有一对重负实根。

输出的拉氏变换为

拉氏反变换得

响应曲线输出无振荡和超调。系统的响应速度在ζ＝1 时比ζ＞1 时快。

3.0＜ζ＜1 欠阻尼振荡状态

特征根

令阻尼振荡频率

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则s1，2＝－ζωn±jωd，为一对复数根。

输出的拉氏变换为

取拉氏反变换得

将上式整理为

设欠阻尼二阶系统参数之间的关系为，如图3-9所示。

图3-9　欠阻尼二阶系统参数间的关系

则欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应可写成

系统的响应为衰减振荡波形，系统有超调。

4.ζ＝0 无阻尼振荡状态

特征根s1，2＝±jωn 为一对纯虚根。

输出的拉氏变换为

其拉氏反变换为

系统的单位阶跃响应为等幅振荡波形。

图3-10为取不同ζ值时对应的单位阶跃响应曲线。由图可见，ζ值越大，系统的平稳性越好，超调越小；ζ值越小，输出响应振荡越强，振荡频率越高。当ζ＝0 时，系统输出为等幅振荡，不能正常工作，属不稳定。

图3-10　不同ζ值时系统的单位阶跃响应