如何化简动态结构图？

根据图2-37可以求出系统的传递函数，这涉及到动态结构图的化简问题。

图2-37　位置随动系统动态结构图

（一）等效变换原则

结构图化简需要遵循一定的基本原则，也就是要保证化简前后的代数等价关系不变。

1.环节串联

串联环节的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积，如图2-38所示。由图可见，环节串联的结果是，两个方块合并成为一个方块，减少了方块的个数。

图2-38　环节串联化简

2.环节并联

并联环节的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和，如图2-39所示。由图可见，环节并联化简的结果是，两条通路合并成为一条通路，减少了通路的条数。

图2-39　环节并联化简

3.反馈回路

反馈回路如图2-40所示，可以将带有反馈回路的结构图简化成为一个方块。

图2-40　反馈回路化简

式中，正号为负反馈，负号为正反馈。若H（s）＝1，为单位反馈。

证明：设中间变量B（s），E（s）如图，则有

对于反馈回路，我们把又称为系统的闭环传递函数。把G（s）H（s）＝G0（s），称为闭环系统的开环传递函数，也就是指从反馈环节H（s）末端断开时，系统前问通路传递函数G（s）与反馈通路传递函数H（s）的乘积。

4.相加点移动

相加点也就是求和点，将位于方块输入端（或者输出端）的相加点移动到方块的输出端（或者输入端），逆移、顺移与互易规则如图2-41～图2-43所示。这里的“逆移”、“顺移”指相加点逆着或顺着信号传递的箭头方向移动。

图2-41　相加点逆移

图2-42　相加点顺移

图2-43　相加点互易

5.分支点移动

分支点逆移如图2-44所示。分支点顺移如图2-45所示。

图2-44　分支点逆移

图2-45　分支点顺移

注意：相加点与分支点之间没有简单互易法则。

从以上分析可以看出，相加点逆移时，为保证等效应在移动支路中除以跨越的传递函数；相加点顺移时，为保证等效应在移动支路中乘以跨越的传递函数；分支点逆移时，为保证等效应在移动支路中乘以跨越的传递函数；分支点顺移时，为保证等效应在移动支路中除以跨越的传递函数。为了方便记忆，不妨记忆其中的三个字：“加、顺、乘”，“加”和“分”相对，“顺”和“逆”相对，“乘”和“除”相对。三者中必有也只有两个字能变。如“加逆除”，“分顺除”等。

【例2-20】 两级RC 滤波网络的结构图如图2-46（a）所示，试采用结构图等价变换法则化简结构图。

图2-46　两级RC 网络的结构图

解：由结构图可见，该图只有一条前向通路，三个反馈支路，也就是有三个自闭合回路，但回路中信号并不独立，回路内部有信号的相加点或分支点。所以在结构图分析时，首先将回路内部的相加点与分支点移出环外，就可以利用化简公式了。

第一步：逆箭头方向移出相加点，顺箭头方向移出分支点如图2-46（b）所示。

第二步：化简两个内部回路，并合并反馈支路中的串联环节如图2-46（c）所示。

第三步：T1＝R1C1，T2＝R2C2，T3＝R1C2，作反馈回路化简如图2-46（d）所示。

所以，得到该网络的传递函数为

几种基本的结构图等效变换法则列于表2-3中。

表2-3　结构图等效变换法则

续表

掌握了上述几种结构图等效变换法则后，对于一般的较复杂的结构图都能等效地变成典型的连接，求出其传递函数。但是，有时更复杂的结构图，只用上面变换法则还不能简化，例如，在结构图中有相加点分支点相间存在，为了简化结构图就要使它们之间互相移位，这种问题就要具体分析，不过仍然遵循着变换后信号传递关系不变的原则，如图2-47（a）所示。相加点、分支点在图中的位置是相间存在的，若变成典型结构连接，用前面介绍的几种原则都不适用，只能首先根据信号传递关系，将结构图重新排列，变相加点分支点相间为相邻，从而达到简化目的，如图2-47（b）所示。

图2-47　相加点和分支点之间移位的等效变换

（二）梅森（S.J.MaSon）公式

根据结构图等效化简原则，将结构图化成最简方框图，可以求得系统的传递函数。但是化简步骤仍然需要一步一步进行。而采用梅森公式化简结构图，求得系统的传递函数，只需要做少量的计算，就可以将传递函数一次写出。所以是一种简捷方便的求法。

梅森公式是基于信号流图理论的一套计算公式，用于计算线图的总增益。结构图与信号流图有密切的关系。

1.信号流图中的基本概念

（1）节点：表示变量。如x1，x2，…。节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号的代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。

（2）源节点（输入节点）：在该节点上，只有信号的输出支路，没有信号的输入支路。它一般代表系统的输入变量，故也称输入节点。如图2-48中的x1 节点。

（3）阱节点（输出节点）：在该节点上，只有信号的输入支路而没有输出支路，它一般代表系统的输出变量，故也称输出节点，如图2-48中的x6 节点。

（4）混合节点：在该节点上，既有信号的输入支路又有输出支路。如图2-48中的x2 节点。(www.xing528.com)

图2-48　典型的信号流图

（5）支路：两节点之间的定向线段。如图2-48中的x2→x3。

（6）支路增益：两变量间的增益（即两变量间的传递函数）。如图2-48中的x2→x3支路增益为a。

（7）通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的途径。如图2-48中的x2→x3→x4→x5 节点。

（8）前向通路：从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。如图2-48中有两条前向通路，一条是x1→x2→x3→x4→x5→x6，另一条是x1→x2→x5→x6。

（9）前向通路增益：前向通路中，各支路的增益的乘积称为前向通路增益（包括正负号）。一般用Pk 表示，如图2-48中的P1＝1abc1；P2＝ldl。

（10）回路：若通路的终点就是通路的起点，并且与其他任何节点相交不多于一次的通路就称为回路。如图2-48中的x2→x3→x2；x3→x4→x3；x5→x5 等。

（11）回路增益：回路中各支路的增益乘积，称为回路增益（包括正负号）。如图2-48中的L1＝ae；L2＝bƒ；L3＝g 等。

（12）不接触回路：若一些回路之间没有任何公共点就称这些回路为不接触回路。如图2-48中有两组不接触回路，一组是x2→x3→x2 和x5→x5；另一组是x3→x4→x3 和x5→x5。

2.结构图和信号流图

从图2-49可以看到，支路、支路增益、回路等，两图是一一对应的，所以应用梅森公式做结构图化简时，可以省去信号流图，直接在结构图上完成。

图2-49　结构图和信号流图

（a）系统的结构图；（b）信号流图

3.梅森公式

梅森总增益计算公式描述如下

式中 P——系统的总增益（总的传递函数）；

Pi——从输入到输出的第i 条前向通路的增益；

Δ——梅森公式的特征式；

Δi——第i 条前向通路的余子式。

梅森公式的特征式的计算公式是

式中——所有独立回路增益之和；

——所有两两互不接触回路增益乘积之和；

——所有三三互不接触回路增益乘积之和。

梅森公式中第i 条前向通路的余子式计算公式为：在特征式Δ中，将与第i 条前向通路Pi 相接触的回路各项全部去除后剩下的余子式即为Δi。

【例2-21】 两级RC 网络的结构图如图2-50所示，试用梅森公式求系统的传递函数。

图2-50　两级RC 网络的结构图

解：（1）找出所有的前向通路并求其增益。系统共有一条前向通路，即

（2）写出所有独立回路，共3 个，即

（3）找出两两互不接触回路，求出，以及找出三三互不接触回路，求出，…依此类推。

本系统中只有一组两两互不接触回路，

（4）写出梅森公式特征式Δ，即

（5）写出各前向通路的余子式。因为只有一条前向通路，而回路1，2，3 都与之有接触，在特征式Δ中去除回路1，2，3 中的各项，则Δ1＝1。

（6）系统传递函数为

【例2-22】 三级RC 滤波网络如图2-51所示，试用梅森公式求取系统的传递函数。

图2-51　三级RC 网络

解：三级RC 网络结构图如图2-52所示。

图2-52　三级RC 网络结构图

（1）一条前向通路

（2）5 个独立回路

（3）两两互不接触回路有6 组

（4）三三互不接触回路有一组

（5）特征式

（6）余子式，各回路与前向通路均有接触，所以Δ1＝1。

（7）传递函数