拉普拉斯反变换：复变函数F变回时域函数的逆运算

拉普拉斯变换将时域函数ƒ（t）变换为复变函数F（s），相应地它的逆运算可以将复变函数F（s）变换回原时域函数ƒ（t）。拉氏变换的逆运算称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。由复变函数积分理论，拉氏反变换的计算公式为

式（2-81）的拉氏反变换，由于是复变函数的积分，计算复杂，一般很少采用。所以已知F（s）反求ƒ（t）时，通常采用的方法是部分分式法。

由于工程中常见的时间信号ƒ（t），它的拉氏变换都是s 的有理分式。因此，可以将F（s）分解为一系列的有理分式Fi（s）之和，再利用拉氏变换表确定出所有的有理分式项Fi（s）所对应的时域函数ƒi（t），合成时域函数ƒ（t）。上述过程遵循的是拉氏变换的线性定理。

拉氏变换F（s）通常为s 的有理分式，可以表为

式中，B（s）是分子多项式，A（s）是分母多项式，系数a0，a1，…，an－1和b0，b1，…，bm－1，bm 均为实数，m、n 为正整数，而且n≥m。

在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程A（s）＝0，其所有的解si，i＝1，2，…，n 称为F（s）的极点。这样F（s）可以表示为

由复变函数的留数定理，可以确定F（s）的各分式Fi（s），求得拉氏反变换为

下面分别讨论各种计算情况。

1.A（s）＝0 全部为单根

F（s）可以分解为

其中

为复变函数F（s）对于极点s＝si 的留数。则拉氏反变换为

【例2-11】 已知：，求拉氏反变换ƒ（t）。

解：将F（s）分解为部分分式

极点为：s1＝－2，s2＝－3，则对应极点的留数为

则分解式为

查拉氏变换表可得

2.A（s）＝0 有重根

只考虑一个单根情况，设s1 为单根，s2 为m 重根，m＋1＝n，则F（s）可以展开为

式中，与单根s1 相对应的系数c1 的求法与前述相同。与重根s2 相对应的各系数c2i，i＝1，2，…，m，由留数定理可得计算公式如下(www.xing528.com)

因为

所以，拉氏反变换为

【例2-12】 求的拉氏反变换ƒ（t）。

解：F（s）可以分解为

系数C1、C2，分别对应单根s1＝0，s2＝－3，由前述单根情况计算为

系数C32、C31分别对应二重根s3＝－1

于是，F（s）的分解式为

查表求得拉氏反变换为

3.A（s）＝0 有共轭复数根

时域函数有共轭复数根时，可以将其作为单根（互不相同）来看待。但是在分解时，涉及到复数运算，计算繁琐。拉氏变换中有如下的变换对

上述变换对的分母都是共轭复数形式的二次三项式，相对应的反变换均为正余弦型。所以，除了可以按照单根情况计算外，还可以按照下述例题的计算步骤进行计算。

【例2-13】 已知，试求其拉氏反变换ƒ（t）。

解：因为分子多项式的次数与分母多项式的次数相等，必然存在常数项，而常数项的拉氏反变换为脉冲函数，所以有：

第一步，将分子多项式除以分母多项式，分离常数项为

第二步，将余式的二次三项式按照上述拉氏变换表整理为

第三步，写出拉氏反变换。

因为

所以

ƒ（t）＝δ（t）＋3e－3t coS5t－2e－3t Sin5t